Un desafío por semana

Mayo 2019, segundo desafío

El 10 mayo 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 10 mayo 2019
Artículo original : Mai 2019, 2e défi Ver los comentarios
Leer el artículo en  

Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 19

En una caja hay $10$ cartas numeradas del $1$ al $10$. Si se escoge al azar $3$ cartas, ¿cuál es la probabilidad de que esas cartas sean escogidas en orden creciente?

Solución del primer desafío de mayo:

Enunciado

La solución es $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Comencemos observando que la imagen del triángulo $XYZ$ por un tercio de rotación completa alrededor del eje $(HC)$ envía el punto $X$ sobre $Z$, el punto $Z$ sobre $Y$, y el punto $Y$ sobre $X$. Obtenemos así el mismo triángulo, de lo cual se deduce que este es equilátero. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo $XDG$ obtenemos $XG^2 = 2^2+3^2 = 13$.

PNG - 25.9 KB

Puesto que $XG$ pertenece a la cara $ADGH$, dicho segmento es perpendicular a $GF$. Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $XZG$ tenemos:
\[XZ^2=XG^2 + GZ^2 = 13 + 1 =14.\]
Por lo tanto, $XYZ$ es un triángulo equilátero de lado $\sqrt{14}$ cm, y podemos calcular su área: por el teorema de Pitágoras, su altura mide
\[\sqrt{\left(\sqrt{14}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3\times 14}}{2}\,\mbox{cm},\]
y su área es entonces igual a
$ \frac{\sqrt{14} \times \frac{\sqrt{3\times 14}}{2}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

— «Mayo 2019, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.