Un desafío por semana

Mayo 2019, segundo desafío

Le 10 mai 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 10 mai 2019
Article original : Mai 2019, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia) !

Semana 19

En una caja hay $10$ cartas numeradas del $1$ al $10$. Si se escoge al azar $3$ cartas, ¿cuál es la probabilidad de que esas cartas sean escogidas en orden creciente ?

Solución del primer desafío de mayo :

Enunciado

La solución es $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Comencemos observando que la imagen del triángulo $XYZ$ por un tercio de rotación completa alrededor del eje $(HC)$ envía el punto $X$ sobre $Z$, el punto $Z$ sobre $Y$, y el punto $Y$ sobre $X$. Obtenemos así el mismo triángulo, de lo cual se deduce que este es equilátero. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo $XDG$ obtenemos $XG^2 = 2^2+3^2 = 13$.

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Puesto que $XG$ pertenece a la cara $ADGH$, dicho segmento es perpendicular a $GF$. Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $XZG$ tenemos :
\[XZ^2=XG^2 + GZ^2 = 13 + 1 =14.\]
Por lo tanto, $XYZ$ es un triángulo equilátero de lado $\sqrt{14}$ cm, y podemos calcular su área : por el teorema de Pitágoras, su altura mide
\[\sqrt{\left(\sqrt{14}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3\times 14}}{2}\,\mbox{cm},\]
y su área es entonces igual a
$ \frac{\sqrt{14} \times \frac{\sqrt{3\times 14}}{2}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2019, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - CETUS/SHUTTERSTOCK.

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