Un desafío por semana

Mayo 2020, quinto desafío

Le 29 mai 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 29 mai 2020
Article original : Mai 2020, 5e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 22

Una caja fuerte necesita una combinación de tres dígitos para ser abierta. Sabiendo que la suma de dichos dígitos es $10$, ¿cuál es el máximo número de intentos que habría que efectuar para estar seguros de abrir el cofre ?

Solución del cuarto desafío de mayo :

Enunciado

La solución es $63$ rectas.

Observemos que la recta pasando por $(0,0)$ y $(1,1)$ también atraviesa los puntos $(2,2), (3,3),\dots, (10,10)$, pues para cada uno de estos puntos, la recta tiene la misma pendiente.

Para contar todas la rectas, debemos entonces contar todas las pendientes posibles, es decir, todos los valores posibles de $y/x$, donde $x$ e $y$ son números enteros comprendidos entre $1$ y $10$, así que en realidad hay que contar los pares $(x,y)$ donde $x$ y $y$ son primos entre sí.

Contemos pues caso por caso :

  • Si $x = 1$, entonces $1\leq y\leq 10$ y tenemos diez rectas distintas posibles, aquellas cuyas pendientes son números enteros.
  • Si $x = 2$, entonces $y$ debe ser un número impar, lo cual nos da cinco pares $(2,y)$ posibles.
  • Si $x = 3$, entonces $y$ debe ser diferente de $3, 6$ y $9$, lo que nos da siete pares.
  • Si $x = 4$, entonces $y$ debe ser impar : cinco posibilidades.
  • Si $x = 5$, entonces $y$ debe ser diferente de $5$ y de $10$ : ocho posibilidades.
  • Si $x = 6$, entonces $y$ puede ser igual a $1, 5$ o a $7$ : tres posibilidades.
  • Si $x = 7$, entonces $y$ no puede ser igual a $7$ : nueve posibilidades.
  • Si $x = 8$, entonces $y$ debe ser un número impar : cinco posibilidades.
  • Si $x = 9$, entonces $y$ debe ser diferente de $3, 6$ y $9$ : siete posibilidades.
  • Si $x = 10$, entonces $y$ puede valer $1, 3, 7$ o $9$ : cuatro posibilidades.

Por consiguiente, en total hay $10 +5 +7 +5 +8 +3 +9 +5 +7 +4 = 63$ rectas distintas.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Mayo 2020, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • HARVEPINO / SHUTTERSTOCK

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