Un desafío por semana

Mayo 2020, segundo desafío

El 8 mayo 2020  - Escrito por  Ana Rechtman
El 8 mayo 2020
Artículo original : Mai 2020, 2e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 19

Si $a$ y $b$ son números estrictamente positivos y si $a^3 + b^3 = 2ab(a + b)$, ¿cuánto vale la expresión
\[ \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2}? \]

Solución del primer desafío de mayo:

Enunciado

La respuesta es $108$. Notemos que algunos de los divisores de $108$ son $1, 9, 27, 36, 54$ y $108$, cuyo conjunto de dígitos abarca $0,1,2,\dots, 9$. Veamos que es el menor número con la propiedad pedida.

Denotemos $C(n)$ el conjunto de dígitos de los divisores de $n$, y sea $A = \{\, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89\, \}$. En primer lugar, veamos que $n$ debe poseer al menos tres dígitos. En efecto, si $n$ fuera menor que $100$, entonces, como $0$ debe pertenecer a $C(n)$, el número $n$ necesariamente debe ser múltiplo de $10$. Sin embargo, $9$ no pertenece a $C(n)$ para $n = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70$ y $80$, ya que estos números no son divisibles por ningún elemento de $A$. Por otro lado, $7$ no pertenece a $C(90)$. Así, $n$ debe tener al menos tres dígitos.

Por último, notamos que $9$ tampoco pertenece a $C(n)$ para $n = 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106$ y $107$, ya que no son divisibles por ningún elemento de $A$, ni por $90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98 $ y $99$. Así, $108$ es el menor natural que cumple con dicha propiedad.

Solución propuesta por Gonzalo Martínez.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2020, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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