Enunciado

Sea $ABC$ el triángulo rectángulo en $A$, $I$ el centro de su círculo inscrito y $A', B'$ y $C'$ los puntos de tangencia entre el círculo inscrito y los lados $[BC], [AC]$ y $[AB]$, respectivamente.

Como el ángulo $\widehat{BAC}$ es recto y que $IB' = IC' = 6~\mathrm{cm}$, el cuadrilátero $AB'IC'$ es un cuadrado de lado $6~\mathrm{cm}$.

Denotemos $x = A' B$ y $y = A' C$. Como las rectas $(A'B)$ y $(C'B)$ son dos tangentes al círculo provenientes del mismo punto, tenemos que $x = A'B = C'B$. Por la misma razón, tenemos que $y = A'C = B'C$.

El perímetro buscado es entonces :
\[ AB + BC + CA =(6+x) + (x+y) + (y+6) = 12 + 2(x+y). \]

Ahora bien, sabemos que la longitud de la hipotenusa vale $x + y = BC = 39~\mathrm{cm}$, así que $12 + 2(x+y) = 12 + 2\times 39 = 90~\mathrm{cm}$, y el perímetro del triángulo vale entonces $90~\mathrm{cm}$.