Mélange

Piste bleue 17 juin 2011  - Ecrit par  Julien Marché Voir les commentaires (4)

Combien de fois doit-on battre un jeu de cartes pour qu’il soit suffisamment mélangé ? Combien de tours doit-on faire avec sa cuillère pour que le café soit convenablement sucré ? Voilà une question pour le « café des maths » !

Pour la première question, deux articles d’IMAGES DES MATHEMATIQUES l’évoquent en même temps que la personnalité de Persi Diaconis, le magicien mathématicien [1]. La deuxième question n’est qu’un apéritif pour le thème de ce court article, la cuisine et ses mathématiques...

Observons cet artisan chinois (photographié lors d’un voyage à Lijiang, Yunnan) en train de travailler un mélange de sucre et de gingembre : il forme un anneau à l’aide d’un mélange initial puis le suspend à un crochet après avoir enroulé l’anneau deux fois sur lui-même. Il étire l’anneau jusqu’à ce que celui-ci retrouve approximativement sa taille initiale puis recommence pendant dix bonnes minutes. Une fois terminé, l’anneau est mis en miettes à coups de sécateurs... résultat : d’excellents bonbons épicés et chauds !

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Autre contexte, ma cuisine… Mélangeons farine et beurre avec un peu d’eau et de sel et formons une boule. Après un peu de repos au frais, étalons-la sous forme d’un carré puis aplatissons par dessus une plaquette de beurre d’un bon centimètre d’épaisseur. Replions le carré en trois pour recouvrir la couche de beurre. On obtient un rectangle allongé. Aplatissons-le dans le sens de la largeur jusqu’à retrouver le carré initial et tournons de 45 degrés. On recommence quatre ou cinq fois et la pâte feuilletée est prête à être garnie de frangipane...

Ces deux procédés sont remarquables : en répétant un
même geste très simple, le cuisinier parvient de manière efficace à mélanger
deux composants, par quel miracle ? En tant que mathématicien, on peut
poser une foule de questions dont je retiens les trois suivantes :

  • Comment modéliser un processus de mélange de manière à englober les deux exemples précédents ?
  • Dans ce modèle, qu’est-ce qu’un système qui mélange, est-ce quantifiable ?
  • Enfin, qu’est-ce qui fait qu’un processus mélange, y a-t-il une explication qui justifie a posteriori ces deux recettes ?

Modélisation

En ce qui concerne la première question, la réponse du mathématicien est assez abstraite. La préparation est assimilée à un ensemble $X$, qu’on peut identifier au volume occupé par la pâte au début de la recette. La balance nous permet pour toute portion d’espace $Y$ contenue dans $X$ de mesurer le poids de la préparation occupée par $Y$. On dit qu’on a une mesure sur $X$ notée m et on peut supposer en choisissant notre unité de poids que le poids total de $X$ est 1. Enfin, le procédé est décrit par une application $T:X\to X$, c’est-à-dire que le petit volume de préparation situé à l’endroit $x$ sera situé au bout d’une étape à la position $T(x)$, au bout de deux étapes à la position $T(T(x))$ etc...
Ces données - $X$, $m$ et $T$ - forment ce qu’on appelle un système dynamique [2]. Une remarque : si une partie $Y$ contient une quantité $m(Y)$, après une étape elle occupera la partie $T(Y)$ qui devra avoir le même poids car on suppose que le cuisinier s’abstient de goûter sa préparation. On dit que $T$ préserve la mesure.

Comprendre cette modélisation n’est pas indispensable pour comprendre la réponse aux deux autres questions mais elle permet de dégager quelques propriétés intéressantes. Pas besoin de cuisine pour trouver des systèmes dynamiques : prenons pour $X$ l’atmosphère terrestre, et pour $T$ la fonction qui à une petite quantité d’air à un endroit donné associe l’endroit où se trouve cette quantité au bout de 24 heures. Dans la prochaine partie, nous allons essayer de caractériser les applications qui mélangent : notre dernier exemple a-t-il cette propriété ?
Cela semble le cas : après un incendie, les particules se diffusent et après quelques semaines, l’odeur n’est plus perceptible nulle part.

Considérons aussi l’application qui à un nombre $x$ entre 0 et 1 associe la partie fractionnaire de son inverse, c’est-à-dire que $T(x)$ est l’unique nombre entre 0 et 1 pour lequel il existe un entier $n$ tel que $1/x=n+T(x)$. Est-ce que $T$ préserve une mesure, est-ce que $T$ mélange ? Voilà deux questions à saveur franchement mathématique, liée à la théorie des fractions continues.

Mélange

Passons donc à la deuxième question : qu’est-ce qu’un système qui mélange ?
Voilà une tentative de réponse, considérons deux petits morceaux quelconques de la préparation : mathématiquement, il s’agit de deux parties $A$ et $B$ de l’ensemble $X$. Pour bien comprendre, imaginons qu’on a ajouté un colorant alimentaire bleu pour distinguer le morceau de préparation appelé $A$. On note $A\cap T^{-n} B$ la partie de $A$ qui au bout de n itérations se retrouve dans $B$, sa mesure nous renseigne sur la quantité de colorant venant de $A$ que l’on retrouve dans $B$ après $n$ opérations. Si le système mélange bien, le colorant bleu va se répartir de façon homogène dans la préparation, on en trouvera donc dans $B$ dans une proportion qui va tendre vers le produit $m(A)m(B)$, ce qu’on trouverait si une quantité $m(A)$ de colorant était répartie uniformément dans $X$ et qu’on en prenait dans $X$ un morceau de poids $m(B)$.

Mathématiquement, on dira que le système mélange si pour toutes parties $A$ et $B$ de $X$, la quantité $m(A\cap T^{-n} B)$ tend vers le produit $m(A)m(B)$ quand $n$ devient grand. C’est une définition concise et invérifiable ! On n’a pas seulement gagné une définition abstraite du mélange, on a aussi un aspect quantitatif, le mélange est d’autant plus efficace que la convergence est rapide, c’est-à-dire qu’il faut moins d’itérations pour que la quantité $m(A\cap T^{-n}B)$ atteigne une valeur proche de la valeur limite.
Pour illustrer cette définition, revenons à l’exemple de l’atmosphère : il est souvent admis que l’application $T$ décrivant le mouvement de l’air après 24 heures est mélangeante comme c’est évoqué dans le
livre « Pourquoi les manchots n’ont-ils pas froid aux pieds » [3]. En effet, à la question « respire-t-on des molécules expirées par le dernier souffle de Leonard de Vinci » les scientifiques répondent : oui ! En moyenne, nous ingérons 5 de ces molécules à chaque inspiration : l’argument consiste à supposer que les molécules expirées par Léonard se sont uniformément réparties dans l’atmosphère, ce qui suppose précisément que l’application $T$ est mélangeante : une hypothèse généralement admise.

Systèmes hyperboliques

Venons-en à la question principale : pourquoi un système mélange ? Si on prend une pâte à tarte, on la tourne d’un certain angle et on la retourne, puis on recommence, on ne risque pas de mélanger grand chose... Intuitivement, pour qu’un procédé soit efficace, chaque morceau de pâte ne doit pas être seulement déplacé mais aussi déformé au cours du processus. C’est seulement de cette manière que deux morceaux de pâte très proches pourront finir par s’éloigner après quelques itérations.
Forts de cette remarque, analysons les deux recettes évoquées au début de l’article. Suivons un morceau du mélange de sucre et de gingembre au cours de la préparation. Si ce morceau était rond au départ, il prend après un tour la forme d’un boudin deux fois plus long que large : on l’a étiré dans la direction de l’anneau ce qui l’a forcé à se contracter dans les deux autres directions.
Qu’en est-il de la pâte feuilletée ? Une boule de pâte sera au bout d’une étape deux fois plus plate et occupera naturellement une surface deux fois plus grande : c’est donc la situation opposée (un mathématicien dirait duale).
Voilà la réponse à notre dernière question : on dit que le système est hyperbolique : en chaque point on peut imaginer un plan et une droite passant par ce point. Le long de la droite, la pâte s’étire tandis qu’autour du plan, elle se contracte - ou l’inverse !

Mathématiquement parlant [4], on peut démontrer qu’un système dynamique hyperbolique a de nombreuses propriétés intéressantes : il est mélangeant au sens précédent, et stable. Cette notion développée par le mathématicien Steven Smale dans les années 1970 signifie qu’une petite modification du système (un coup de rouleau à pâtisserie un peu trop appuyé par exemple) ne modifie pas sensiblement les propriétés dynamiques du système. C’est bien ce qu’on observe dans la pratique !

PS : mais alors, combien de tours doit-on faire avec la cuillère pour mélanger le café ? Et bien c’est une question trop complexe pour l’auteur de ces lignes, espérons qu’un spécialiste de systèmes dynamiques y réponde bientôt sur Images des Maths !

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths et l’auteur remercient pour leur relecture attentive les relecteurs suivants : J. Struffi,
Gérard Besson, Jean-Pierre RAOULT ainsi que Sébastien Gouëzel et Patrick Popescu-Pampu.

Notes

[1 « Persi « Magic » Diaconis » — Images des Mathématiques, CNRS, 2007. En ligne
et Bruno Belhoste, « Mélanges de cartes et mathématiques » — Images des Mathématiques, CNRS, 2009. En ligne

[3Pourquoi les manchots n’ont pas froid aux pieds ? : Et 111 autres questions stupides et passionnantes, Science ouverte, Seuil

[4Le lecteur intéressé peut lire les bases de la théorie des systèmes dynamiques - entre autres - dans le livre suivant : « Introduction to dynamical systems » de M. Brin et G. Stuck. La couverture de ce livre n’est pas sans rappeler le logo de cet article : il s’agit bien du même objet mathématique à savoir l’attracteur solénoïdal.

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Pour citer cet article :

Julien Marché — «Mélange» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Crédits image :

Image à la une - Marianne Couffignal

Commentaire sur l'article

  • Mélange

    le 19 juin 2011 à 08:40, par Bernard Hanquez

    La fabrication des bonbons en Chine me rappelle les machines qui brassent la guimauve dans les fêtes foraines avec leurs bras qui tournent inlassablement et replient la guimauve sur elle même. C’est sans doute le même principe.

    Voir la vidéo : http://www.youtube.com/watch?v=G9_E...

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    • Mélange

      le 20 juin 2011 à 10:27, par Julien Marché

      Merci pour le lien youtube, cela illustre bien le propos de l’article ! Il y a de nombreux films impressionnants autour de la guimauve...

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  • Mélange

    le 20 juin 2011 à 14:31, par Julien

    En fait l’article s’étale (!) surtout sur le cas de la transformation continue. Le cas discret est assez spécifique pour mériter un traitement séparé, ne serait-ce que pour admirer le spectacle étonnant d’une image pixelisée qui, après être déformée un certain nombre de fois, revient à l’identique !

    Avec tout ça, il y a quand même une petite arnaque dans le sous-titre : on ne sait toujours pas combien de fois il faut battre le jeu de cartes pour qu’il soit « désordonné »...

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    • Mélange

      le 20 juin 2011 à 16:49, par Julien Marché

      Sans nul doute, il y a d’autres choses à dire sur le mélange ! Vous pensez à un modèle discret en temps discret, je suis plus attiré par les modèles continus en temps continu. Pour écrire cet article, j’ai par exemple réfléchi à ce qui se passait dans mon mixeur sans trouver une explication convaincante...
      Sinon, je me défends au sujet de la « petite arnaque » : si vous lisez les articles d’IdM auxquels je fais référence, vous verrez qu’il faut mélanger le jeu 7 fois !

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