Melencolia I

A propósito de un grabado de Albrecht Dürer

Le 14 novembre 2011  - Ecrit par  Christine Huyghe
Le 2 juin 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Algunos elementos matemáticos a propósito de un grabado de Albrecht Dürer.

Melencolia I

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Melencolia I

Es el título de un grabado de 1514 del pintor del Renacimiento Albrecht Dürer, que describe la melancolía (del griego melancholia, por melas, negro, et cholée, humor). El cuadro es famoso e inspirará a numerosos artistas, desde Paul Verlaine [1] hasta Lars von Trier [2], pasando por Jean-Paul Sartre [3]. Dürer no es solamente pintor, sino que se interesa también seriamente en las matemáticas, y escribirá incluso más tarde un tratado de geometría ’’práctica’’. Además de los atributos del geómetra, como el compás, dos objetos matemáticos llaman la atención.

  • Primero, un poliedro. Se trata en realidad de un romboedro [4] es decir, un poliedro cuyas caras son rombos, que se obtiene deformando un cubo, y que aquí está trunco.
    En el excelente sitio mathcurve, se encuentra una representación gráfica convincente de la construcción del poliedro de Dürer.
  • Se encuentra también un tablero mágico de tamaño $4$, que es

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 16 & 3 & 2 & 13 \\ \hline 5 & 10 & 11 & 8\\ \hline 9 & 6 & 7 & 12\\ \hline 4 & 15 & 14 & 1\\ \end{array}\]

Un tablero mágico de tamaño $4$ es un tablero cuadrado, donde los números que van de $1$ a $16$ aparecen una y solo una vez, de modo que la suma de los números sobre cada línea, cada columna y las dos diagonales valen un mismo número $N$. Este número necesariamente es $34$, porque la suma de todos los números del cuadrado es $8\times 17$, que debe valer $4\times N$ y por lo tanto $N$ vale $34$. El tablero representado por Dürer posee propiedades adicionales. Así, la suma de los números situados sobre los $4 $ sub-cuadrados de lado $2$ vale también $34$, así como la suma de las $4 $ esquinas del cuadrado inicial, o incluso la suma de los números adyacentes a las $4$ esquinas del cuadrado en el orden de las agujas del reloj, es decir $8+14+9+3=34$. Todas estas propiedades no son características de ese cuadrado, ya que -después de algunas transformaciones simples- se puede encontrar un cuadrado mágico con las mismas propiedades, por ejemplo, este, obtenido girando en un cuarto de vuelta el cuadrado anterior
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 4 & 9 & 5 & 16 \\ \hline 15 & 6 & 10 & 3\\ \hline 14 & 7 & 11 & 2\\ \hline 1 & 12 & 8 & 13\\ \end{array}\]
o el que se obtiene al permutar las dos columnas del medio, o incluso las dos líneas del medio, o aún más, haciendo una simetría axial de eje horizontal o vertical.

¿Y la melancolía en todo esto ? Los historiadores del arte se han volcado largamente a la interpretación de los símbolos de la obra de Dürer. Si la elección del poliedro parece dejar perplejos a los especialistas, Klibansky, Panofsky y Saxl (en el capítulo $2$ de Saturn and Melancholy) adelantan la idea de que el cuadrado mágico de Dürer representa una especie de antídoto a la melancolía, tradicionalmente ligada con Saturno [5]. Ahora bien, en aquella época los cuadrados mágicos eran misteriosos y considerados como símbolos de los planetas. En 1500, un matemático italiano, Luca Pacioli -que Dürer habría podido encontrar en Bolonia- escribió un tratado acerca de los símbolos planetarios, donde figura el cuadrado de Júpiter, el mismo reproducido por Dürer. Júpiter, figura alegre, oponiéndose a la influencia de Saturno (pero que finalmente no lo consigue, siempre según Klibansky, Panofsky y Saxl, que ven finalmente en esta obra un autorretrato de Dürer como guardián melancólico). No hay ninguna duda que en aquella época los astrólogos cultivan la confusión entre astrología y matemáticas. Jean Thenaud, un contemporáneo de Dürer escribió también en su ’’Tratado de ciencia poética’’ lo que considera una demostración de la melancolía de Saturno :

Las matemáticas que más sutilmente especulan sobre las cosas dicen que Saturno está triste por lo que la estrella dicta, Saturno anuncia siempre cosas tristes por su nacimiento.

Dürer, fino geómetra, probablemente no se dejaba engañar. La elección de ese cuadrado mágico en especial, sin embargo, tiene sin duda una explicación más simbólica que matemática. En todo caso, no sería necesario ver ningún mensaje acerca del carácter melancólico de las matemáticas. ¡De eso estamos seguros !

Habrá que esperar hasta 1693 para que los cuadrados mágicos 4x4 pierdan un poco de su magia y que el matemático francés Bernard Frénicle de Bessy haga
la lista de los
$880$ casos básicos posibles. Se obtiene todos los cuadrados mágicos 4x4 luego de rotaciones y simetrías de uno de esos casos básicos. A partir de un cuadrado mágico, se encuentra $7$ otros cuadrados. En otras palabras, un cuadrado mágico tiene $8$ formas posibles. En la clasificación de Dudeney, los cuadrados están repartidos en doce grupos, siguiendo la disposición de parejas de números cuya suma vale $17$. Así, el cuadrado de Júpiter está en en el grupo III y corresponde al Nº 175 de esta lista.

El asunto difícil de comprender la combinatoria de los cuadrados mágicos contiene aún algunos misterios, tal como Melencolia I [6].

Notes

[1con sus poemas saturnianos

[2su última película : Melancolía

[3que deseaba que el grabado de Dürer ilustrara su obra ’’La náusea’’

[4del griego rhombos que significa objeto que gira, por ejemplo un trompo ; y también da romboide, que es rombo en griego

[5Saturno tiene por qué estar deprimido : después de muchas peripecias fue expulsado de los cielos (y de su trono) por su propio hijo, Júpiter.

[6N.d.T. : En este artículo, así como en este, el lector hallará más información sobre cuadrados mágicos.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Melencolia I» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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