Mesurer un angle avec une balance

Une version mécaniste du théorème de Pythagore

Piste rouge Le 4 octobre 2018  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires

Dans les trousses des écoliers, on trouve bien souvent des crayons, une règle, un compas mais aussi un rapporteur. Ce petit instrument, facile à utiliser, est très pratique pour mesurer des angles. Dans la suite, nous allons voir qu’il est parfois possible de mesurer aussi des angles avec une balance ! Nous déduirons de nos expérimentations une version mécaniste du théorème de Pythagore.

Masse, poids, poulie : rappels de mécanique

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Une poulie est un dispositif mécanique assez simple qui, au moyen d’une roue, permet de transmettre un mouvement ou plus généralement une force. L’intensité de la force transmise est préservée, seule la direction de la force est modifiée, comme l’illustre le dessin ci-contre.

En notant $\mathbf{g}$ le vecteur accélération de la pesanteur, la force verticale qu’exerce une masse $m$ s’appelle le poids et on la représente mathématiquement par le vecteur $\mathbf{P} = m \, \mathbf{g}$ [1].
En approximant l’intensité de $\mathbf{g}$ à environ $g = ||\mathbf{g}|| = 10 \, \text{m} \cdot s^{-2}$, une masse de 10 kilogrammes exerce donc une force de 100 newtons et les vecteurs bleu et rouge sur le dessin sont des vecteurs de même norme, bien qu’indiquant des directions différentes.

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Dans l’expérience ci-dessus, nous avons placé trois masses, les masses $m_1$ et $m_2$ étant respectivement accrochées derrière les poulies de gauche et de droite, et la masse $m_3$ étant suspendue entre les deux poulies. On appelle $P$ le point de jonction des trois ficelles. Quand on lâche les trois masses, après quelques secondes, le système se place en équilibre.

Problème

Quel est l’angle supérieur $\theta$ en P ? Comment le mesurer quand on ne dispose pas de rapporteur mais seulement d’une balance ?

Un angle, des masses et une formule

Les trois masses exercent des forces verticales : ce sont respectivement les poids $\mathbf{P_1} = m_1 \mathbf{g}$, $\mathbf{P_2} = m_2 \mathbf{g}$ et $\mathbf{P_3} = m_3 \mathbf{g}$.
Ainsi, en notant $\mathbf{F_1}$, $\mathbf{F_2}$ et $\mathbf{F_3}$, les forces qui s’exercent au niveau du point $P$, on a bien entendu $\mathbf{F_3} = \mathbf{P_3}$ mais seulement
\[||\mathbf{F_1}|| = ||\mathbf{P_1}|| = m_1 g \quad \text{et} \quad ||\mathbf{F_2}|| = ||\mathbf{P_2}|| = m_2 g,\]
comme nous l’avons rappelé précédemment.
D’après le principe fondamental de la statique, le système étant à l’équilibre, la résultante des forces au point $P$ de jonction des trois fils est nulle, autrement dit

\[\mathbf{F_1} + \mathbf{F_2} + \mathbf{F_3} = \mathbf{0}.\]

On en déduit la jolie formule suivante

\[\cos \theta = \frac{m_3^2-(m_1^2+m_2^2)}{2 \, m_1 m_2}.\]

Démonstration

En prenant le produit scalaire de l’équation $\mathbf{F_1} + \mathbf{F_2} + \mathbf{F_3} = \mathbf{0}$ avec $\mathbf{F_1}$ puis $\mathbf{F_2}$, on obtient respectivement les deux équations suivantes

\[||\mathbf{F_1}||^2 + \mathbf{F_1} \cdot \mathbf{F_2} + \mathbf{F_1} \cdot \mathbf{F_3} = 0\]
\[\text{et} \quad \mathbf{F_2} \cdot \mathbf{F_1} + ||\mathbf{F_2}||^2 + \mathbf{F_2} \cdot \mathbf{F_3} = 0.\]

En additionnant ces deux dernières équations et en utilisant le fait que le produit scalaire est symétrique (i.e. $\mathbf{F_1} \cdot \mathbf{F_2} = \mathbf{F_2} \cdot \mathbf{F_1}$), on obtient
\[||\mathbf{F_1}||^2 + ||\mathbf{F_2}||^2 + 2 \, \mathbf{F_1} \cdot \mathbf{F_2} + (\mathbf{F_1} + \mathbf{F_2}) \cdot \mathbf{F_3} = 0.\]
En utilisant une fois encore l’équation d’équilibre des forces sous la forme $\mathbf{F_1} + \mathbf{F_2} = -\mathbf{F_3}$, on en déduit
\[||\mathbf{F_1}||^2 + ||\mathbf{F_2}||^2 + 2 \, \mathbf{F_1} \cdot \mathbf{F_2} = ||\mathbf{F_3}||^2.\]
On trouve finalement la formule annoncée puisque par définition de $\theta$, on a
\[\mathbf{F_1} \cdot \mathbf{F_2} = m_1 g \, m_2 g \cos \theta.\]

Le tour est joué ! Si on dispose d’une balance, on peut donc mesurer les trois masses $m_1$, $m_2$ et $m_3$ pour en déduire l’angle supérieur en $P$ puisque ce dernier est nécessairement compris entre 0 et 180 degrés [2]. Remarquons que la valeur précise de l’accélération de la pesanteur est sans importance sur le résultat final. S’il vous prenait donc l’envie, non seulement de réaliser l’expérience sur Terre mais également d’aller la reproduire sur la Lune ou Mars, attendez-vous à mesurer le même angle pour trois masses données 😃.

Nous pouvons à présent faire plusieurs remarques et soumettre la formule ci-dessus à notre intuition physique 🤔.

  • Si les trois masses sont égales, quelle que soit cette valeur, on s’attend à ce que les trois angles en $P$ soient égaux, autrement dit $\theta = 120^{\circ}$. Or, après simplification, la formule se réduit justement à $\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
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  • Plus la masse $m_3$ est pesante par rapport aux masses $m_1$ et $m_2$, plus celle-ci « s’enfonce » et plus l’angle $\theta$ est proche de 0 degré. Si la masse $m_3$ vient à être supérieure à la somme des masses $m_1$ et $m_2$, l’équilibre ne peut plus être maintenu, la masse $m_3$ entraîne dans sa chute les deux autres masses. C’est d’ailleurs exactement ce que dit la formule. En effet, le cosinus d’un angle étant au plus égal à 1, on en déduit donc
    \[m_3^2 \leq m_1^2 + m_2^2 + 2 \, m_1 m_2 = (m_1 + m_2)^2.\]
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  • Le cas extrême opposé correspond intuitivement à celui d’une masse $m_3$ très petite par rapport à $m_1$ et $m_2$, et donc à un angle $\theta$ presque plat ($\theta$ proche de 180 degrés). Dans ce cas, l’équilibre n’est possible que si les deux masses $m_1$ et $m_2$ sont à peu près égales car, dans le cas contraire, la plus lourde entraînerait l’autre masse dans sa chute. Là encore, c’est exactement ce que dit la formule : si $m_3 = 0$ et $\cos \theta = -1$, alors $(m_1-m_2)^2=0$.
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  • Une dernière remarque encore. Dire que l’angle supérieur en $P$ est droit, c’est dire que $\cos \theta = 0$. On déduit ainsi de notre formule une version « mécaniste » du théorème de Pythagore, où les distances sont remplacées par des masses [3].
Version mécaniste du théorème de Pythagore

L’angle supérieur en $P$ est droit si et seulement $m_1^2 + m_2^2 = m_3^2$.

Un gabarit de 120 degrés en papier

Pour vérifier que l’angle $\theta$ était bien de 120 degrés dans le cas de trois masses égales, nous avons utilisé un gabarit en papier. Sauriez-vous construire un angle de 120 degrés à l’aide d’une simple feuille de papier carrée ?

Voici comment faire. On part d’une feuille de papier carrée que l’on plie par sa moitié pour ramener un côté sur son côté opposé. On déplie la feuille pour revenir au carré de départ. On plie une deuxième fois la feuille afin d’amener l’un des sommets du carré sur le pli du milieu de la feuille. On obtient ainsi un quadrilatère avec deux angles droits, un angle aigu et un angle obtus. Un petit dessin valant mieux qu’un long discours...

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Un bel exercice de géométrie

L’angle obtus du quadrilatère mesure 120 degrés. Sauriez-vous le démontrer ? [4]

Si ces expérimentations vous ont amusé, alors l’article Poids, poulies et point de Fermat-Steiner qui paraîtra fin octobre vous amusera peut-être tout autant [5]. Ce deuxième article débute d’ailleurs par une démonstration du fait que l’angle de notre gabarit est bien de 120 degrés.

Post-scriptum :

Un grand merci à Jean-Luc Pernette qui m’a enseigné la construction en papier du gabarit de 120 degrés. Merci également à Pierre-Sylvain Allaume du département de physique de l’université d’Orléans pour le prêt du matériel.

L’auteur et la rédaction de IdM remercient également Christian Mercat et les relecteurs François Brunault et Jean-Louis Poss pour leur relecture attentive et leurs commentaires constructifs.

Article édité par Christian Mercat

Notes

[1Nous utilisons la convention de noter en gras les vecteurs, plutôt que de les surmonter d’une flèche. Ainsi, $\mathbf{g}$ désigne le vecteur accélération de la pesanteur, alors que $g = ||\mathbf{g}||$ désigne sa norme qui est un scalaire. Avec cette convention, le vecteur nul sera donc noté $\mathbf{0}$ plutôt que $\overrightarrow{0}$ et on a bien entendu $||\mathbf{0}||=0$.

[2On imagine mal le point $P$ se positionner naturellement au-dessus des deux poulies...

[3Ce tweet de @naofumi_i illustre le cas du triplet pythagoricien (3,4,5).

[4Si vous séchez, c’est normal, ce n’est pas si évident que cela. Nous en donnons une démonstration dans cet article.

[5Les amateurs de linge mouillé et d’étendoir auront plaisir à réfléchir au problème du jean proposé par Marc Legrand, Thomas Lecorre, Liouba Leroux, Anne Parreau de l’IREM de Grenoble à propos du « débat scientifique dans l’amphi » (voir page 214).

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Mesurer un angle avec une balance» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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