Mètres, kilogrammes et secondes

ou comment multiplier les pommes et les poires

Pista azul El 31 julio 2019  - Escrito por  Étienne Ghys Ver los comentarios (16)
Leer el artículo en  

Votre instituteur, ou votre institutrice, vous l’a appris : on n’ajoute pas des pommes et des poires. Pour ajouter deux quantités, il faut qu’elles soient de même nature.

Piste verte ou bleue : un domaine skiable à lire ou relire cet été. Rediffusion d’un article publié en septembre 2009.

Par exemple, ajouter mon poids et ma taille donnerait un résultat qui n’aurait aucun sens. Pourquoi ? Tout simplement parce que pour exprimer mon poids et ma taille par un nombre, il faut que j’utilise des unités de mesure, par exemple les kilogrammes et les centimètres, et si j’en utilisais d’autres, par exemple la livre et le pied (si j’étais anglo-saxon), le résultat de l’addition donnerait un résultat tout à fait différent qui n’aurait aucun rapport avec le premier... Cela est bien connu. Malheureusement il n’est pas rare de rencontrer des imposteurs qui n’hésitent pas à ajouter des choses qui n’ont rien à voir entre elles et qui nous font croire que le résultat a un sens scientifique... Cela est souvent le cas de soi-disants «indicateurs» mélangeant des critères variés. Par exemple, le fameux indice de Shangai — qui se propose de classer les universités mondiales par ordre de qualité — ajoute des choses comme, par exemple, le nombre d’étudiants dans l’université et le nombre d’articles publiés par les enseignants-chercheurs qui y travaillent... Passons sur le ridicule de cet indicateur qui a cependant été pris au sérieux par bon nombre de journalistes ou politiques....

Par contre, on peut multiplier ou diviser des quantités de natures différentes. Si je fais 32 kilomètres en deux heures à vélo, ma vitesse moyenne aura été de 16 km/h. J’ai divisé 32 km par 2 h : deux quantités bien différentes (une distance et une durée). Plus intéressant encore : si je multiplie deux quantités de même nature, j’obtiens bien souvent quelque chose de nature différente... Par exemple, si une salle fait 6m de long et 4 m de large, elle fera 24 ${\rm m}^2$ de superficie. Quand je multiplie deux longueurs, j’obtiens une superficie. Très différent de l’addition : quand j’ajoute deux longueurs en les mettant bout à bout, j’obtiens encore une longueur. Des mètres plus des mètres font des mètres, alors que des mètres fois des mètres font des mètres carrés.

Quand on y songe, le statut de la multiplication est bien différent de celui de l’addition. Lorsqu’on veut expliquer à un enfant l’addition, on peut prendre des tas d’exemples concrets, comme mettre des bâtons bout à bout, ou ajouter deux poids sur une balance, ou ajouter les superficies des pièces d’un appartement pour avoir la superficie totale, mais qu’en est-il de la multiplication ? Bien sûr, pour multiplier des nombres entiers, l’explication est facile : si je mets trois rangées de sept billes, j’ai vingt-et-une billes. On explique que la multiplication $3\times 7$ consiste à ajouter 3 fois le nombre 7 si bien qu’on a 7+7+7 c’est-à-dire 21. Mais, ce genre d’explication se limite aux nombres entiers. Quelle est la signification de $2{,}75 \times 4{,}7 = 12{,}925$ par exemple ? Il n’est pas possible d’ajouter $2{,}75$ fois le nombre $4{,}7$.
On peut bien sûr parler d’un rectangle dont les dimensions sont 2,75 m et 4,7 m et calculer sa superficie mais le résultat s’exprimera en mètres carrés. Si j’avais mesuré mon rectangle en pieds, le résultat aurait été tout autre. On pourrait aussi dire que $4{,}7$ c’est $47$ dixièmes, et que $2,75$ c’est $275$ centièmes, et multiplier les nombres entiers $47$ et $275$. Mais ensuite, il nous faudra interpréter $12925$ comme exprimé dans une nouvelle unité, celle des «dix-millièmes» et nous retrouvons la même idée : des dixièmes multipliés par des centièmes donnent des dix-millièmes, de la même manière que des mètres multipliés par des mètres carrés donnent des mètres cubes. Remarquez que c’est exactement de cette manière que vous procédez lorsque vous multipliez à la main deux «nombres à virgules» : vous oubliez d’abord les virgules et ensuite, à la fin du calcul, vous la placez correctement.

Essayons d’y voir plus clair dans cette algèbre compliquée, où il est parfois interdit d’ajouter et où multiplier change la nature des objets que l’on manipule... Mathématisons un peu... Les quantités que nous manipulons sont réparties en différentes espèces : les longueurs, les vitesses, les superficies, les accélérations, les volumes, les densités, les poids, les énergies, les puissances etc. Il est «légal» d’ajouter deux quantités de même espèce et le résultat de l’opération est une quantité de même espèce. On peut par contre multiplier des quantités d’espèces différentes et le résultat est une quantité d’une espèce encore différente. On voit donc apparaître une sorte d’algèbre des espèces. Voici quelques exemples «d’équations» qu’on peut écrire dans cette algèbre symbolique :

\[[Longueur] \times [Longueur] = [Superficie] \]

\[[Superficie] \times [Longueur] = [Volume] \]

\[[Longueur] / [Temps] = [Vitesse]\]

\[[Vitesse] / [Temps] = [Accélération]\]

\[[Masse] / [Volume] = [Masse\,\,volumique]\]

\[[Energie] = [Force] \times [Longueur]\]

etc.

Vous voyez que les choses que l’on manipule ici ne sont pas de nombres mais des espèces. Pour les mathématiciens, c’est un exemple de ce qu’ils appellent un groupe, l’un des objets les plus courants en mathématiques. Depuis longtemps, les physiciens ont constaté que la quasi-totalité des espèces qu’ils mesurent peut se réduire à trois d’entre elles seulement [1]. On peut faire beaucoup de choix pour ces espèces de base à partir desquelles on peut tout exprimer, mais la tradition est d’utiliser

\[[Longueur], [Masse], [Temps].\]

Par exemple, on a

\[[Volume] = [Longueur] ^3\]

\[[Masse\,\,volumique] = [Masse]\times [Longueur]^{-3}\]

\[[Vitesse] = [Longueur] \times [Temps]^{-1}\]

\[[Accélération] = [Longueur] \times [Temps]^{-2}\]

\[[Force] = [Masse] \times [Longueur] \times [Temps]^{-2}\]

\[[Pression] = [Force] / [Superficie] = [Masse] \times [Longueur]^{-1} \times [Temps]^{-2}\]

etc.

Une fois qu’on a choisi les trois espèces fondamentales et que pour chacune d’entre elles, on a choisi une unité, on a une unité naturelle pour toutes les autres espèces. Traditionnellement, les physiciens utilisent les unités que nous héritons de la Révolution française : le mètre pour les longueurs, le kilogramme pour les masses, la seconde pour les durées. On parle du système MKS [2]

Une fois que les trois choix d’unités ont été faits, le reste suit. L’unité de vitesse sera le mètre par seconde : m/s. On comprend la «souffrance» du mathématicien lorsqu’il entend parler d’une vitesse en kilomètres-heures. Non ! il faut dire «kilomètres par heure» , puisqu’on divise une distance par une durée et qu’on ne les multiplie pas ;-) L’unité de pression par exemple est le Pascal, qui correspond à une force de $1 {\rm kg} \times {\rm m} \times {\rm s}^{-2}$ par ${\rm m}^2$.

Mais il n’y a pas que la physique dans la vie... On peut lire par exemple que telle compagnie d’aviation a transporté tant de millions de passagers-kilomètres l’année dernière. Cela a parfaitement un sens : pour chaque passager, on calcule la distance qu’il a parcourue et on ajoute tout cela. On a multiplié deux espèces : celle des $[Passagers]$ et celle des $[Longueurs]$. Notez qu’on pourrait demander aussi le nombre moyen de kilomètres par passager. Il s’agirait de la longueur moyenne des vols des passagers et il faudrait alors diviser des kilomètres par des passagers : cela aussi aurait un sens, mais tout différent. Les trois espèces de base considérées par les physiciens ne rendent donc pas compte de tout....

Que se passe-t-il si je divise deux quantités de même espèce, comme par exemple le périmètre d’un cercle et son diamètre : c’est-à-dire deux longueurs. On obtient bien sûr le nombre $\pi$, le fameux $3{,}14159265...$ qu’on apprend à l’école. Ce nombre ne dépend en aucun cas des unités choisies : si je mesure le périmètre et le diamètre en pieds, en pouces, ou en kilomètres, le résultat est le même. Le $\pi$ des anglo-saxons est le même que celui des français. Ces nombres qui ne dépendent d’aucune unité, ce sont ceux que les mathématiciens préfèrent en secret. Ils les appellent les nombres sans dimension. Nous avons vu que $\pi$ en est un, mais les nombres entiers, $2$ ou $3$, en sont d’autres, tout comme leurs racines carrées etc. Les physiciens également adorent ces nombres : regardez par exemple cette liste. Cette espèce de nombres, je la note $[1]$. Pourquoi ? Parce que si je multiplie n’importe quelle espèce par un tel nombre, je ne change pas l’espèce. Si je multiplie la $[Longueur]$ d’un diamètre par $\pi$ j’obtiens une autre $[Longueur]$ : son périmètre. En termes mathématiques, cette espèce sans dimension est l’élément neutre du groupe des espèces.

A quoi cela sert-il ? A bien comprendre la nature des opérations usuelles et surtout à éviter de faire des opérations contre nature... Voici un exemple : on apprend en physique que lorsqu’un pendule de longueur $l$ oscille, la période $T$ de son oscillation est donnée par la formule :

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

où $g$ est l’accélération de la pesanteur, soit $9{,}81\,{\rm m/s}^2$ (sur Terre). On voit que cette formule est «homogène», ce qui veut dire que les deux côtés du signe $=$ sont de même espèce. Vérifions cela. A gauche $T$ est un $[Temps]$. A droite, nous trouvons $2\pi$ — un nombre sans dimension — fois la racine carrée du quotient d’une longueur et d’une accélération. On trouve donc,

\[[1]\sqrt{\frac{[Longueur]}{[Longueur][Temps]^{-2}}}.\]

C’est-à-dire un $[Temps]$. Ouf ! les deux côtés de la formule sont de même espèce. Lorsqu’on fait ce calcul, on dit qu’on vérifie l’homogénéité d’une formule. Que d’erreurs seraient évitées au baccalauréat si les candidats avaient en permanence en tête la nature des objets qu’ils manipulent et s’ils vérifiaient l’homogénéité de leurs formules...

Un petit résumé ? Les grandeurs que nous manipulons tous les jours sont rarement des «nombres» : elles sont d’une certaine espèce ; pour les transformer en nombres, il faut choisir une unité. Ma taille n’est pas un nombre, c’est une taille... et elle ne s’exprime pas par le même nombre lorsque je l’exprime en mètres ou en pieds. Des grandeurs s’ajoutent sans problème uniquement lorsqu’elles sont de même espèce. Lorsqu’on multiplie les grandeurs, les espèces se multiplient.

Voici un exemple un peu plus élaboré. Supposons que j’observe un disque qui tourne autour de son centre (dans le plan). Si je veux décrire la situation, il me faut donner la vitesse de rotation en comptant par exemple le nombre de tours par minutes. Mais dans quel sens ? Il faut prendre une convention : par exemple, je peux dire que j’affecte la rotation d’un signe $+$ si le disque tourne dans le sens des aiguilles d’une montre et d’un signe $-$ dans le cas contraire. De mon point de vue, la rotation est décrite par un nombre, positif ou négatif. Mais observez la chose suivante : si le disque tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, s’il est suspendu sur un mur vertical et transparent (une vitre par exemple), et si quelqu’un observe le disque depuis l’autre côté de la vitre, il affirmera à juste titre que le disque tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et affectera un signe $-$ à la rotation. Ce qui décrit la rotation n’est donc pas vraiment un nombre... c’est une quantité qui change de signe si je change de côté. D’autres quantités au contraire restent les mêmes quand on les regarde des deux côtés. Par exemple, si je place une petite masse sur le mur, le fait de la peser d’un côté ou de l’autre ne change pas le résultat de la mesure. Voilà qui justifie la définition suivante :

Une quantité paire est un couple de nombres égaux $(a,a)$ : les deux mesures égales des deux côtés de la vitre.

Une quantité impaire est un couple de nombres opposés $(a,-a)$ : les deux mesures d’une rotation de part et d’autre de la vitre.

Je peux ajouter deux quantités paires : \[(a,a)+(b,b)= (a+b,a+b).\]

Le résultat est une quantité paire. Ou deux quantités impaires : \[ (a,-a)+(b,-b)= (a+b, -a-b)\] et le résultat est alors impair. Mais je ne peux pas ajouter une quantité paire à une autre qui est impaire car le résultat n’est ni pair ni impair : \[(2,2)+(1,-1)= (3,1)\] et $(3,1)$ n’est rien du tout. Par contre, je peux multiplier deux quantités impaires $(a,-a)$ et $(b,-b)$ et le résultat est $(ab,ab)$, une quantité paire. Autrement dit, nous sommes dans une situation analogue à ce que nous avons déjà vu : les quantités que nous étudions ont une espèce — paire ou impaire — et on a une «algèbre des espèces» :

\[pair \times pair = pair \]

\[pair \times impair = impair \]

\[impair \times pair = impair \]

\[impair \times impair = pair. \]

Le groupe abélien des espèces a deux éléments... On peut ajouter deux quantités si elles sont de même espèce mais on peut toujours les multiplier.

Ce petit exemple un peu simpliste a été profondément généralisé par les physiciens théoriciens : les particules élémentaires se décomposent en deux types : bosons et fermions. Les fermions sont analogues à nos quantités impaires et les bosons aux quantités paires. Les physiciens d’aujourd’hui manipulent des objets bien plus complexes que des longueurs, des masses ou des temps....

A suivre...

Article édité par François Sauvageot

Notas

[1Ce n’est pas tout à fait vrai : les physiciens utilisent en fait 7 unités fondamentales : [Longueur], [Masse], [Temps], [Courant électrique], [Température], [Quantité de matière], [Intensité lumineuse].

[2Beaucoup de mathématiciens oublient que Gauss fut aussi un physicien. C’est en tout cas lui qui proposa en 1832 le système CGS, père très direct du système MKS adopté une centaine d’années plus tard.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Étienne Ghys — «Mètres, kilogrammes et secondes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Comentario sobre el artículo

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Mètres, kilogrammes et secondes

    le 10 de marzo de 2010 à 05:43, par fmsanchez

    L’ANALYSE DIMENTIONNELLE A UN ROLE PREDICTIF NON-AXIOMATISE

    Permettez à un ingénieur-physicien de vous faire remarquer que vous mélangez non seulement les pommes et les poires mais, et c’est beaucoup plus grave et symptomatique d’une dérive multi-séculaire, vous entretenez la confusion entre Physique et Mathématiques.

    En particulier, votre article comporte une grave lacune : le rôle prédictif de l’analyse dimentionnelle. C’est une propriété remarquable de la Physique, maintes fois constatée mais jamais expliquée. Mais «ce n’est parce que la tortue a le pas sûr qu’il faut couper les ailes de l’aigle» comme disait Poe.

    La Physique utilise certes les Mathématiques, mais, et c’est essentiel, les Mathématiques ACTUELLES n’impliquent pas la Physique. En particulier, les théoriciens des cordes n’arrivent pas à «particulariser» notre Univers, et concluent au contraire à un «Multivers» où les constantes numériques physiques (par exemple le rapport de masse proton/électron p = 1836,1527) pourraient avoir n’importe quelle valeur. Or ln(p)^ln(p) est très voisin de e^(e^e), ce dernier étant un relativement grand nombre formé de manière économique à partir de e, la constante de Napier, base des logarithmes naturels, notés ln(x).

    Cela prouve que c’est la Physique qui doit orienter l’axiomatisation et non le contraire, mais comme disait un matheux «nous autres mathématiciens sommes d’essence divine», et on s’imagine posséder les axiomes idoines !

    Le danger d’une telle attitude est facilement vérifiable, en appliquant l’analyse dimensionnelle élémentaire prédictive (ADEP), au calcul d’une longueur à partir des 3 principales constantes de la physiques, hormis «c» la célérité luminique, à savoir hbar le quantum de moment cinétique, G la constante de gravitation et m la moyenne géométrique des 3 particules principales de l’atomistique, l’électron le proton et le neutron.

    On obtient ainsi la longueur hbar^2/Gm^3, soit 6,52 x 10 ^25 m alors que le rayon de Hubble est 1,27 x 10^26 m, soit pratiquement le double.

    Ce type d’analyse dimensionnelle prédictive qui consiste à caractériser les ordres de grandeurs pertinents à partir des constantes physiques essentielles pertinentes EST COURRAMMENT UTILISEE par les ingénieurs, en particulier en hydrodynamique où les équations sont complexes. C’est ainsi que j’ai constaté cette corrélation dans mes TROIS PREMIERES MINUTES DE COSMOLOGIE, lors de ma première année sabatique, en Septembre 1997. En effet, j’ai immédiatement rejeté «c» comme étant une constante NON PERTINENTE en cosmologie, car vitesse trop lente pour assurer une cohésion cosmique, (cette élimination de «c» est une chose impensable pour ces axiomaticiens relativistes qui ont prétendu régenter l’univers par quelques équations différentielles).

    Cette formule, parmi d’autres tout aussi révélatrices (en particulier par une autre ADEP qui donne cette fois le soi-disant âge de l’univers à qq % près !!), a été publiée récemment dans un journal américain (voir le site de Bernard Lempel), et dans mon premier ouvrage «Le Pain du Sage»... Que constate-t-on ? puisqu’elle n’a pas été démontrée à partir d’une axiomatique standard, les «scientifiques» s’en désintéressent et baptisent cela «numérologie».

    Résultat des courses : le résultat ci-dessus a été censuré par l’Académie des Sciences de Paris et autres journaux «scientifiques», censure qui aura sans doute des conséquences terribles pour le prestige de l’institution scientifique, et en particulier pour l’Université d’Orsay. Seul Pecker a osé le publier en 2006, mais comme celui-ci est considéré comme un dissident (il croit que l’expansion est un artéfact de "fatigue de la lumière sans réaliser que l’achromaticité de ce phénomène prouve qu’il ne peut s’agir d’un phénomène d’Optique non-linéaire), cela n’a eu aucune conséquence, et j’ai terminé ma carrière d’enseignant chercheur au plus bas niveau (alors que mon Principe Holographique est reconnu maintenant comme l’un des principaux espoirs pour l’axiomatique future).

    On attend maintenant confirmation des prédictions correspondant à ce que cette formule signifie : LA PERMANENCE DE L’UNIVERS (alors qu’on annone dans le programme du tronc commun de Seconde, suivant en cela la formule malheureuse de Hubert Reeves, qui s’est bien gardé de commenter mon ADEP, que «l’Univers a une histoire»).

    Le comble est que la formule ci-dessus peut s’écrire sous la forme «holographique» que j’avais prévu dans un article «Holic Principle» publié à Cambridge en 1995. L’Université d’Orsay m’a prié de ne pas en parler aux étudiants en module d’orientation, et m’a octroyé ma première année sabbatique en 1997... Maintenant, le Wikipédia bien pensant se désole que le rayon de Hubble soit variable, empêchant l’utilisation du Principe Holographique dans sa rubrique du même nom (P.H.).

    Les paris sont ouverts. Des fortunes à se faire en pariant contre ceux qui croient durs comme fer à la théorie officielle du Big Bang où le rayon de Hubble serait variable (en contradiction formelle avec le calcul ci-dessus puisque les «constantes» utilisées ont été vérifiées comme étant vraiment constantes par l’observation astronomique).

    Votre article «metres, kilogrammes et secondes» fait la même erreur en limitant le rôle de l’A.D.E à la vérification d’homogénéité des formules, oubliant ce rôle prédictif essentiel pratiqué couramment par les ingénieurs.

    En attendant le «clash» historique qui s’annonce, j’espère que vous tiendrez compte de cette remarque pour compléter votre exemple du pendule en ajoutant que l’ordre de grandeur de la période est directement déductible par ADEP. Merci d’avance pour les futurs ingénieurs qui auront à l’utiliser.

    Francis Michel Sanchez,
    Ingénieur de l’Ecole Supérieure d’Optique,
    Dr ès-sciences physiques.

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

Registros

Este artículo es parte del registro « À lire ou à relire cet été» consulte el registro
La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.