Metros, kilogramos y segundos

o cómo multiplicar manzanas con peras

Pista azul El 31 julio 2019  - Escrito por  Étienne Ghys
El 24 agosto 2019  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Mètres, kilogrammes et secondes Ver los comentarios
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Su maestro o maestra le ha enseñado: no se suma peras con manzanas. Para sumar dos cantidades, es necesario que sean de la misma naturaleza.

Por ejemplo, sumar mi peso y mi estatura daría un resultado sin ningún sentido. ¿Por qué? Simplemente porque para expresar mi peso y mi estatura por un número, es necesario que yo utilice unidades de medida, por ejemplo, los kilogramos y los centímetros, y si utilizara otros -por ejemplo, la libra y el pie (si fuera anglosajón)- el resultado de la adición daría un resultado del todo diferente que no tendría ninguna relación con el primero... Esto es bien conocido. Desafortunadamente, no es raro encontrar impostores que no dudan en sumar cosas que no tienen nada que ver entre ellas y que nos hacen creer que el resultado tiene un sentido científico... Esto es frecuente en el caso de los así llamados ’’indicadores’’ que mezclan criterios variados. Por ejemplo, el famoso índice de Shanghai — que se propone clasificar las universidades mundiales por orden de calidad — suma cosas como, por ejemplo, el número de estudiantes en la universidad y el número de artículos publicados por los profesores-investigadores que ahí trabajan... Saltémonos la ridiculez de este indicador que, sin embargo, ha sido tomado en serio por una buena cantidad de periodistas y políticos....

Por el contrario, se puede multiplicar o dividir cantidades de naturalezas diferentes. Si yo recorro 32 kilómetros en dos horas en bicicleta, mi velocidad promedio habrá sido de 16 km/hr. Dividí 32 km por 2 hr : dos cantidades bien diferentes (una distancia y una duración). Más interesante aún: si yo multiplico dos cantidades de igual naturaleza, obtengo muy a menudo algo de naturaleza distinta... Por ejemplo, si una sala mide 6 m de largo y 4 m de ancho, tendrá 24 ${\rm m}^2$ de superficie. Cuando multiplico dos longitudes, obtengo una superficie. Muy distinto de la adición: cuando sumo dos longitudes y las pongo una después de la otra, obtengo todavía una longitud. Metros más metros hacen metros, mientras que metros por metros hacen metros cuadrados.

Cuando uno piensa en eso el estatus de la multiplicación es muy distinto del de la adición. Si uno quiere explicarle a un niño la adición, puede tomar montones de ejemplos concretos, como colocar barras una detrás de la otra, o juntar dos pesos en una balanza, o añadir las superficies de las salas de un apartamento para tener la superficie total. Pero ¿qué pasa con la multiplicación? Por supuesto, para multiplicar números naturales la explicación es fácil: si coloco tres filas de siete bolas, tengo veintiún bolas. Se explica que la multiplicación $3\times 7$ consiste en agregar 3 veces el número 7 de tal manera que se tiene 7+7+7 es decir 21. Pero ese tipo de explicación se limita a los números naturales. ¿Cuál es el significado de $2{,}75 \times 4{,}7 = 12{,}925$ por ejemplo? No es posible agregar $2{,}75$ veces el número $4{,}7$.Uno puede por supuesto hablar de un rectángulo cuyas dimensiones son 2,75 m y 4,7 m y calcular su superficie, pero el resultado se expresará en metros cuadrados. Si yo hubiera medido mi rectángulo en pies, el resultado habría sido absolutamente otro. Se podría decir también que $4{,}7$ es $47$ décimos, y que $2,75$ es $275$ centésimos, y multiplicar los números naturales $47$ y $275$. Pero enseguida tendríamos que interpretar $12925$ como expresado en una nueva unidad, la de los ’’diezmilésimos’’, y encontramos la misma idea: décimos multiplicados por centésimos dan diezmilésimos, de la misma manera que los metros multiplicados por los metros cuadrados dan metros cúbicos. Fíjese que usted procede exactamente de esta manera cuando multiplica a mano dos ’’números con comas’’: usted se olvida primero de las comas, y luego al final del cálculo, las coloca correctamente.

Tratemos de ver, en esta álgebra complicada, dónde está prohibido sumar, y dónde multiplicar cambia la naturaleza de los objetos que uno manipula... Matematicemos un poco... Las cantidades que manipulamos están repartidas en diferentes especies: las longitudes, las velocidades, las superficies, las aceleraciones, los volúmenes, las densidades, los pesos, las energías, las potencias etc. Es ’’legal’’ sumar dos cantidades de igual especie y el resultado de la operación es una cantidad de la misma especie. Se puede, por el contrario, multiplicar cantidades de especies diferentes y el resultado es una cantidad de una especie de nuevo diferente. Uno ve aparecer, por lo tanto, una suerte de álgebra de especies. Aquí hay algunos ejemplos de ’’ecuaciones’’ que pueden escribirse en esta álgebra simbólica :

\[[Longitud] \times [Longitud] = [Superficie] \]

\[[Superficie] \times [Longitud] = [Volumen] \]

\[[Longitud] / [Tiempo] = [Velocidad]\]

\[[Velocidad] / [Tiempo] = [Aceleración]\]

\[[Masa] / [Volumen] = [Densidad]\]

\[[Energía] = [Fuerza] \times [Longitud]\]

etc.

Usted ve que las cosas que uno manipula aquí no son números sino especies. Para los matemáticos, es un ejemplo de lo que ellos llaman un grupo, uno de los objetos más corrientes en matemáticas. Desde hace mucho tiempo, los físicos han comprobado que la casi totalidad de las especies que ellos miden puede reducirse a tres de ellas solamente [1]. Se puede hacer muchas elecciones para estas especies de base a partir de las cuales se puede expresar todo, pero la tradición es utilizar

\[[Longitud], [Masa], [Tiempo].\]

Por ejemplo, uno tiene

\[[Volumen] = [Longitud] ^3\]

\[[Densidad] = [Masa]\times [Longitud]^{-3}\]

\[[Velocidad] = [Longitud] \times [Tiempo]^{-1}\]

\[[Aceleración] = [Longitud] \times [Tiempo]^{-2}\]

\[[Fuerza] = [Masa] \times [Longitud] \times [Tiempo]^{-2}\]

\[[Presión] = [Fuerza] / [Superficie] = [Masa] \times [Longitud]^{-1} \times [Tiempo]^{-2}\]

etc.

Una vez que se ha elegido las tres especies fundamentales y que para cada una de ellas se ha elegido una unidad, se tiene una unidad natural para todas las demás especies. Tradicionalmente, los físicos utilizan las unidades que nosotros heredamos de la Revolución Francesa: el metro para las longitudes, el kilogramo para las masas, el segundo para las duraciones. Se habla del sistema MKS [2]

Una vez que se ha hecho las tres elecciones de unidades, el resto sigue. La unidad de velocidad será el metro por segundo: m/s. [3] La unidad de presión, por ejemplo, es el Pascal, que corresponde a una fuerza de $1 {\rm kg} \times {\rm m} \times {\rm s}^{-2}$ por ${\rm m}^2$.

Pero no solo hay física en la vida... Se puede leer por ejemplo que tal compañía de aviación ha transportado tantos millones de pasajeros-kilómetro el último año. Esto perfectamente tiene sentido: por cada pasajero se calcula la distancia que ha recorrido y se suma todo esto. Se ha multiplicado dos especies: la de los $[Pasajeros]$ y la de las $[Longitudes]$. Note que uno podría pedir también el número promedio de kilómetros por pasajero. Se trataría de la longitud promedio de los vuelos de los pasajeros y habría entonces que dividir los kilómetros por los pasajeros: esto también tendría un sentido, pero del todo diferente. Las tres especies de base consideradas por los físicos no dan, por lo tanto, cuenta de todo....

¿Qué ocurre si yo divido dos cantidades de igual especie, como por ejemplo el perímetro de un círculo y su diámetro, es decir, dos longitudes? Se obtiene por supuesto el número $\pi$, el famoso $3{,}14159265...$ que uno aprende en la escuela. Este número no depende en ningún caso de las unidades elegidas: si yo mido el perímetro y el diámetro en pies, en pulgadas, o en kilómetros, el resultado es el mismo. El $\pi$ de los anglosajones es el mismo que el de los franceses. Estos números que no dependen de ninguna unidad son los que los matemáticos prefieren en secreto. Ellos los llaman los números sin dimensión. Hemos visto que $\pi$ es uno de ellos, pero los números naturales, $2$ o $3$, son otros de ellos, así como sus raíces cuadradas, etc. Los físicos también adoran estos números: observe por ejemplo esta lista. Esta especie de números, yo la anoto $[1]$. ¿Por qué? Porque si yo multiplico cualquier especie por un número así, no cambio la especie. Si multiplico la $[Longitud]$ de un diámetro por $\pi$, obtengo otra $[Longitud]$: su perímetro. En términos matemáticos, esta especie sin dimensión es el elemento neutro del grupo de las especies.

¿Para qué sirve eso? Para comprender bien la naturaleza de las operaciones usuales y, sobre todo, para evitar hacer operaciones contra natura... Aquí hay un ejemplo. En física se aprende que cuando un péndulo de longitud $l$ oscila, el período $T$ de su oscilación está dado por la fórmula:

\[T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

donde $g$ es la aceleración de la gravedad, es decir $9{,}81\,{\rm m/s}^2$ (sobre la Tierra). Se ve que esta fórmula es ’’homogénea’’, lo que quiere decir que los dos lados del signo $=$ son de igual especie. Comprobemos esto. A la izquierda $T$ es un $[Tiempo]$. A la derecha, encontramos $2\pi$ —un número sin dimensión— veces la raíz cuadrada del cuociente de una longitud y de una aceleración. Se encuentra por lo tanto,

\[[1]\sqrt{\frac{[Longitud]}{[Longitud][Tiempo]^{-2}}}.\]

Es decir, un $[Tiempo]$. ¡Uff! los dos lados de la fórmula son de la misma especie. Cuando se hace este cálculo, se dice que uno comprueba la homogeneidad de una fórmula. Cuántos errores serían evitados en las pruebas de admisión universitaria si los candidatos tuvieran permanentemente en la mente la naturaleza de los objetos que ellos manipulan y si comprobaran la homogeneidad de sus fórmulas...

¿Un breve resumen? Las magnitudes que manipulamos todos los días son raramente ’’números’’: son de una cierta especie, y para transformarlas en números hay que elegir una unidad. Mi estatura no es un número, es una estatura... y no se expresa por el mismo número cuando la mido en metros o en pies. Las magnitudes se suman sin problema únicamente cuando son de igual especie. Cuando se multiplica las magnitudes, las especies se multiplican.

Aquí hay un ejemplo un poco más elaborado. Supongamos que observo un disco que gira alrededor de su centro (en el plano). Si quiero describir la situación, necesito dar la velocidad de rotación contando, por ejemplo, el número de giros por minuto. ¿Pero en qué sentido? Hay que adoptar una convención: por ejemplo, puedo decir que yo asigno a la rotación un signo $+$ si el disco gira en el sentido de las agujas del reloj, y un signo $-$ en el caso contrario. Desde mi punto de vista, la rotación está descrita por un número, positivo o negativo. Pero observe lo siguiente: si el disco gira en el sentido de las agujas del reloj, si está suspendido de un muro vertical y transparente (un vidrio, por ejemplo) y alguien observa el disco desde el otro lado del vidrio, afirmará con justa razón que el disco gira en el sentido inverso a las agujas del reloj y le dará un signo $-$ a la rotación. Lo que describe verdaderamente la rotación no es un número... es una cantidad que cambia de signo si yo me cambio de lado. Otras cantidades, por el contrario, se preservan cuando uno las mira de ambos lados. Por ejemplo, si coloco una pequeña masa sobre el muro, el hecho de pesarla de un lado o del otro no cambia el resultado de la medición. Por eso se justifica la siguiente definición:

Una cantidad par es una pareja de números iguales $(a,a)$: las dos mediciones iguales de ambos lados del vidrio.

Una cantidad impar es la pareja de números opuestos $(a,-a)$: la medición de un lado opuesta a la del otro lado del vidrio.

Puedo sumar dos cantidades pares: \[(a,a)+(b,b)= (a+b,a+b).\]

El resultado es una cantidad par. O dos cantidades impares : \[ (a,-a)+(b,-b)= (a+b, -a-b)\] y el resultado es entonces impar. Pero yo no puedo sumar una cantidad par con otra que es impar, ya que el resultado no es ni par ni impar : \[(2,2)+(1,-1)= (3,1)\] y $(3,1)$ no es absolutamente nada. Por el contrario, puedo multiplicar dos cantidades impares $(a,-a)$ y $(b,-b)$ y el resultado es $(ab,ab)$, una cantidad par. En otras palabras, estamos en una situación análoga a lo que ya hemos visto: las cantidades que estudiamos tienen una especie -par o impar- y se dispone de un ’’álgebra de especies’’:

\[par \times par = par \]

\[par \times impar = impar \]

\[impar \times par = impar \]

\[impar \times impar = par. \]

El grupo abeliano de las especies tiene dos elementos... Se puede sumar dos cantidades si son de la misma especie, pero uno siempre puede multiplicarlas.

Este pequeño ejemplo, un poco simplista, ha sido profundamente generalizado por los físicos teóricos. Las partículas elementales se descomponen en dos tipos: bosones y fermiones. Los fermiones son análogos a nuestras cantidades impares, y los bosones a las cantidades pares. Los físicos hoy en día manipulan objetos bastante más complejos que las longitudes, las masas o los tiempos....

A continuación...

Artículo original editado por François Sauvageot

Notas

[1No es del todo cierto: los físicos utilizan en realidad 7 unidades fundamentales: [Longitud], [Masa], [Tiempo], [Corriente eléctrica], [Temperatura], [Cantidad de materia], [Intensidad luminosa].

[2Muchos matemáticos olvidan que Gauss fue también un físico. En todo caso fue él quien propuso en 1832 el sistema CGS, padre muy directo del sistema MKS adoptado un centenar de años más tarde.

[3N.d.T.: En el texto original, aquí se escribía lo siguiente: ’’Se comprende el ’’sufrimiento’’ del matemático cuando escucha hablar de velocidad en kilómetros-hora. ¡No! hay que decir ’’kilómetros por hora’’, ya que uno divide una distancia por una duración y no las multiplica ;-)’’
Sin embargo, este comentario no es del todo pertinente en países de habla castellana, pues en algunos (e.g. Chile) la multiplicación suele invocarse con la palabra ’’por’’, mientras que en otros mediante la palabra ’’veces’’. En francés, se utiliza ’’fois’’, equivalente de esta última forma, de modo que el uso de ’’par’’ no se confunde nunca con una multiplicación...

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Metros, kilogramos y segundos» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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