Misha Gromov, un panorama

Le 3 avril 2009  - Ecrit par  Alain Valette Voir les commentaires (6)

Comme on l’a déjà vu sur ce site, le 26 mars 2009, le Président de l’Académie norvégienne des sciences a annoncé le lauréat du Prix Abel 2009 : Mikhail Leonidovitch Gromov, professeur permanent à l’Institut des hautes Études scientifiques (à Bures-sur-Yvette, près de Paris).

Misha Gromov se présente lui-même comme un géomètre. Et son style est indubitablement celui d’un géomètre. Mais ses centres d’intérêt mathématiques sont très variés. Ses découvertes et ses idées, toujours très originales, ont révolutionné plusieurs domaines des mathématiques :

Son travail de pionnier a même conduit à la création de nouveaux domaines de recherches fructueux, de sorte que la géométrie est aujourd’hui complètement différente de ce qu’elle était il y a 40 ans. Sous son influence, différentes branches de la géométrie sont aujourd’hui mieux reliées entre elles, mieux reliées à d’autres domaines des mathématiques.

Si l’on devait comparer Gromov à des géomètres illustres et anciens, on pourrait penser à Gauss et à Poincaré.

Voici un bref panorama de ses idées et résultats.
Il doit beaucoup à un texte de Pierre de la Harpe de mai 2008, ainsi qu’aux remarques amicales de la rédaction de Images des Mathématiques.

Géométrie riemannienne

Dans ce domaine, Gromov a eu au moins deux idées révolutionnaires.

D’abord, il insiste sur les notions les plus « basiques », la distance entre les points, la mesure des volumes, et de façon un peu plus compliquée, des inégalités sur la courbure, et sur tout ce qui, en géométrie « riemannienne », ne dépend que de ces notions « simples ».

Ensuite, il considère les espaces avec lesquels il travaille comme les « points » d’espaces plus abstraits, espaces de courbes d’un certain type, par exemple, qu’il munit de structures qu’il peut étudier pour en déduire des propriétés des espaces « points ». Ce point de vue s’est révélé si fécond que nous ne pourrions aujourd’hui nous en passer. Gromov lui-même en a déduit de nouveaux théorèmes, de nouvelles démonstrations, et une meilleure compréhension de résultats classiques.

Par exemple, une contribution importante, issue d’un article [1] de 1987 sur les groupes hyperboliques, montre à quel point la notion de courbure, telle qu’il la formule, est à la fois très générale et d’une efficacité surprenante. Gromov définit les « espaces hyperboliques » par une condition de courbure majorée. Le cas des « groupes hyperboliques » lui a permis par exemple de démontrer des propriétés de « presque tous » (dans un sens précis) les groupes « de présentation finie ».

Topologie symplectique

En 1985, Gromov a révolutionné la « géométrie symplectique » et transformé cette discipline [2] en ce que l’on appelle aujourd’hui la topologie symplectique. Son idée était d’utiliser les « courbes pseudo-holomorphes » (qui sont un certain type de surfaces dessinées dans les « variétés symplectiques ») et, comme il a été dit ci-dessus, les espaces dont les points sont ces courbes. Cette idée [3] et les théorèmes (comme par exemple un critère de compacité des espaces de courbes pseudo-holomorphes) qu’il a démontrés grâce à elle, sont aujourd’hui le pain quotidien des géomètres.

Équations aux dérivées partielles

Le livre [4] que Gromov a publié en 1986 sur les « relations aux dérivées partielles » (qui expriment la plupart des propriétés géométriques comme, par exemple le fait, pour une courbe, d’être pseudo-holomorphe) recèle nombre d’idées neuves et fécondes, que les mathématiciens n’ont pas fini d’exploiter.

Espaces métriques mesurés

Il s’agit d’espaces munis à la fois d’une distance (une métrique) entre ses points et d’une mesure (de ses parties). Par exemple, une sphère (de dimension $n$), ou encore l’ensemble des mots $abbaaabbbbbbaaab$ de longueur $n$ en deux lettres $a$ et $b$, où il faut penser que $n$ est grand.

Le phénomène de concentration de la mesure est une manière de formaliser le fait qu’en général, un observateur aura toutes les chances de n’observer qu’une petite partie des propriétés d’un tel espace [5].

Cette remarque est à la fois élémentaire et profonde... elle convenait donc à Gromov, qui lui a donné toute sa dimension, dans un chapitre d’une centaine de pages de son livre sur les structures métriques
 [6], publié en 1999. Il s’agit d’y établir des liens importants entre géométrie et théorie des probabilités, notamment en montrant et en utilisant des versions géométriques de la loi des grands nombres.

Groupes de type fini

Dans les années 1980, Gromov nous a appris à considérer un groupe « de type fini » — c’est-à-dire que l’on peut décrire à l’aide d’un nombre fini de ses éléments — comme un objet géométrique en soi, et pas seulement comme un objet associé à une géométrie annexe (comme c’est le cas du groupe fondamental d’un espace). Il a ainsi pu relier, de façon très spectaculaire des propriétés algébriques du groupe (comme le fait d’être virtuellement nilpotent) et des propriétés géométriques gromoviennes (!) (par exemple, être à croissance polynomiale).

L’article [7] dans lequel Gromov a démontré ces théorèmes a eu et a toujours une influence considérable, du fait du résultat lui-même, mais plus encore du fait des méthodes utilisées et des concepts forgés à cette occasion, comme celle de structure à l’infini (cône asymptotique), qui fait partie aujourd’hui du bagage standard en géométrie des groupes.

Dans un livre [8] de 1991 sur les invariants asymptotiques des groupes infinis, Gromov a montré comment reformuler une multitude de notions géométriques, la plupart élaborées dans le contexte continu des variétés riemanniennes, pour les adapter au contexte discret et combinatoire de la géométrie des groupes. Réciproquement, d’autres reformulations permettent d’appliquer des notions classiques de théorie des groupes, comme la moyennabilité, à des espaces métriques considérablement plus généraux.

Les bonnes questions

Gromov est toujours à la poursuite de nouveaux problèmes, en même temps il apporte constamment de nouvelles idées pour résoudre des problèmes, anciens ou nouveaux. Son travail est caractérisé par une profondeur et une originalité incroyables. Les mathématiciens apprennent de Gromov comment poser les bonnes questions, ce qui est aussi important que de démontrer des théorèmes !

Notes

[1Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

[2Issue de la manière dont Hamilton avait écrit les équations de la mécanique.

[3Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307—347. Téléchargeable ici.

[4Partial differential relations. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 9. Springer-Verlag, Berlin, 1986. x+363 pp.

[5L’utilisation systématique de cette observation est due à Vitali Milman dans les années 1970. Milman s’est inspiré de travaux d’Émile Borel au début du 20ème siècle et de Paul Lévy au milieu du 20ème siècle.

[6Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Based on the 1981 French original. With appendices by M. Katz, P. Pansu and S. Semmes. Translated from the French by Sean Michael Bates. Reprint of the 2001 English edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2007. xx+585 pp.
voir.

[7Groups of polynomial growth and expanding maps (with an appendix by Jacques Tits). Publications Mathématiques de l’IHÉS, 53 (1981), p. 53-78, téléchargeable ici.

[8Asymptotic invariants of infinite groups. Geometric group theory, Vol. 2 (Sussex, 1991), 1—295, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 182, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993.

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Pour citer cet article :

Alain Valette — «Misha Gromov, un panorama» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • Misha Gromov, un panorama

    le 28 octobre 2009 à 22:18, par Martin

    La géométrie riemannienne fut utilisée par Einstein pour trouver la relativité générale et l’article sur la Recherche de novembre montre qu’Einstein est dépassé. Ceci jette les doutes sur les géométries non-euclidiennes et sur les travaux du grand savant Gromov.

    Martin

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  • Misha Gromov, un panorama

    le 28 octobre 2009 à 23:07, par Alain Valette

    Même si la relativité générale est mise en doute comme description de l’univers (je ne suis pas compétent là-dessus), sa validité comme théorie mathématique ne pose pas problème. Il en va de même des géométries non-euclidiennes et des travaux de Gromov (qui n’a jamais prétendu que ses travaux pouvaient s’appliquer en cosmologie !). Contrairement à la physique, les mathématiques ne sont pas soumises à la confrontation avec le monde réel.

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  • Misha Gromov, un panorama

    le 29 octobre 2009 à 07:26, par Martin

    Monsieur Alain Valette
    Salut
    Les mathématiques sont une science pure et exacte, donc elles ne sont pas une science physique. Mais les applications des mathématiques sont dans ce monde réel. C’est ce que nous a appris Galilée.
    Les mathématiques doivent en tout cas être une science claire, exacte et consistante, c’est-à-dire sans contradiction, ce qui n’est le cas des géométries non-euclidiennes que le grand savant Gromov développe. En lisant Marvin Greenberg je fus scandalisé de savoir qu’on ne sait pas exactement ce qu’est une ligne droite en géométrie hyperbolique. Je cite en anglais page 226 de son live Euclidean and Non-Euclidean geometries :
    « What is a line in hyperbolic geometry-in fact, what is the hyperbolic plane plane ? The honest answer is that we don’t know ».
    Il faut remarquer que Greenberg n’emploie pas le terme straight line, la traduction anglaise de ligne droite.
    Bien que professeur ordinaire de mathématiques, le doute commence à s’installer chez moi, et j’ai peur que les géométries non-euclidiennes ne soient pas vraies.
    Merci pour ceux qui pourront dissiper mes doutes.
    Martin
    29/10/2009

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    • Misha Gromov, un panorama

      le 29 octobre 2009 à 07:46, par Martin

      Correction ---

      Monsieur Alain Valette

      Salut

      Les mathématiques sont une science pure et exacte, donc elles ne sont pas une science physique. Mais les applications des mathématiques sont dans ce monde réel. C’est ce que nous a appris Galilée.
      Les mathématiques doivent en tout cas être une science claire, exacte et consistante, c’est-à-dire sans contradiction, ce qui n’est pas le cas des géométries non-euclidiennes que le grand savant Gromov développe. En lisant Marvin Greenberg je fus scandalisé de savoir qu’on ne sait pas exactement ce qu’est une ligne droite en géométrie hyperbolique. Je cite en anglais page 226 de son livre Euclidean and Non-Euclidean geometries :
      « What is a line in hyperbolic geometry-in fact, what is the hyperbolic plane ? The honest answer is that we don’t know ».
      Il faut remarquer que Greenberg n’emploie pas le terme straight line, la traduction anglaise de ligne droite.
      Bien que professeur ordinaire de mathématiques, le doute commence à s’installer chez moi, et j’ai peur que les géométries non-euclidiennes ne soient pas vraies.
      Merci pour ceux qui pourront dissiper mes doutes.
      Martin
      29/10/2009

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  • Misha Gromov, un panorama

    le 29 octobre 2009 à 15:23, par Alain Valette

    Je vois. Voici deux autres citations du livre de Greenberg :

    1) « We have shown that if Euclidean geometry is consistent, so is hyperbolic geometry, since we can construct models for it within Euclidean geometry. Conversely, it can be proved that if hyperbolic geometry is consistent, then so is Euclidean geometry (...) Thus, the two geometries are equally consistent. » (première phrase du chap. 8, p. 248 de l’édition de 1972)

    2) Une citation reprise de Poincaré, que Greenberg cite malheureusement en anglais (p. 250 de l’édition 1972) : « ...What then are we to think of the question : Is Euclidean geometry true ? It has no meaning. We might as well ask if the metric system is true and if the old weights and measures are false ; if Cartesian coordinates are true and polar coordinates false. One geometry cannot be more true than another ; it can only be more convenient. »

    Enfin, pour terminer je recommande la récente interview de Gromov au EMS-Newsletter :
    http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2009-09-73.pdf

    (voir en particulier la page 21 sur l’histoire de la géométrie au 19ème siècle).
    Je m’abstiendrai de tout autre commentaire sur ce sujet - pour moi réglé.

    Répondre à ce message
    • Misha Gromov, un panorama

      le 29 octobre 2009 à 23:18, par Martin

      M Alain Valette
      Il ne faut pas être un spécialiste en géométrie pour savoir que les modèles proposés par Beltrami, Klein et notre grand savant Henri Poincaré sont illogiques, car les géométries non-euclidiennes contredisent la géométrie d’Euclide, et par conséquent, elles ne peuvent lui emprunter ses lignes par ce qu’elles sont créées par l’utilisation du cinquième postulat d’Euclide.
      Dommage que le génial Poincaré s’est laissé entraîner dans ce sophisme. Les prises de position de Poincaré sur la géométrie sont subjectives et n’ont aucune valeur scientifique. Pour convaincre en mathématique il faut démontrer. Aristote a bien n compris le rôle de la démonstration.
      Quand on réfléchit bien, il est impossible que la vérité puisse avoir trois faces. Il y a quelque chose qui ne va pas. Ou bien l’une des géométries non-euclidiennes est vraie, ou bien la géométrie d’Euclide est vraie. La géométrie qui démontre son théorème de base sera la vraie géométrie, et j’espère que M. Gromov arrivera un jour à démontrer qu’il y a plusieurs parallèles à une ligne droite, car rester accrochée à la géométrie d’Euclide pour prétendre à la consistance est indigne de la géométrie hyperbolique et des géomètres non-euclidiens.
      D’ailleurs, Greenberg n’a pas perdu tout espoir qu’une contradiction puisse être trouvée dans les géométries non-euclidiennes, surtout que leurs principes sont arbitraires et contre le bon sens. Pour cela il a écrit à la page 222 du même livre ce qui suit :
      « If hyperbolic geometry were inconsistent, an ordinary mathematical argument could derive a contradiction. Saccheri tried to do this and failed. Could it be that he wasn’t clever enough, that someday some genius will find a contradiction ? »
      M Alain, les commentaires sont bénéfiques et instructifs. Le soldat qui croit à sa cause ne quitte pas le champ de bataille. J’espère que les discussions ne seront pas fermées sur ce site.
      Les mathématiciens français du 17ème siècle étaient au premier rang car ils entretenaient à merveille ce genre de débat.
      Martin
      Le 30 octobre 2009

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