4 janvier 2011

2 commentaires — commenter cet article

Mobiles de Calder

Isabelle Cantat et Serge Cantat

La poésie des mobiles de Calder n’échappe pas aux lois mathématiques de la mécanique !

Un mobile de Calder

Commençons par observer le mobile de Calder suivant.

Mobile de Calder I

Parc de la Fondation Gianadda (Martigny Suisse)

Le mobile flotte doucement, mais si l’une des ailettes ronde était un peu plus lourde, patatras, il pencherait disgracieusement et perdrait toute sa majesté ; pour obtenir ce mobile, les masses de chaque feuille de métal sont donc choisies judicieusement en fonction des autres : pour qu’une tige articulaire du mobile soit à l’horizontale, il faut que les poids appuyant à ses extrémités se compensent équitablement, comme pour une balance.

Le mobile à deux masses

Pour comprendre ce principe, essayons de construire par nous même un tel mobile, très simple, avec seulement deux pièces de métal colorées, comme sur la figure ci-dessous.

Le mobile à deux masses

Précisons le problème. Deux masses $M_1$ et $M_2$ sont accrochées aux extrémités d’une tige. Nous désirons que la tige reste à l’équilibre lorsqu’on la pose sur son support au point $P$. Si le point choisi $P$ était au centre de la tige, il suffirait d’avoir deux masses égales. Ici, les distances $L_1$ et $L_2$ entre $P$ et les extrémités de la tige ne sont pas égales : $L_1$ est double de $L_2$. Il faut ajuster les masses en conséquence : la masse $M_2$ doit être double de $M_1$.

De manière générale, pour des tiges rectilignes de masse négligeable, il faut que le
rapport des masses suspendues soit inverse du rapport des longueurs,
\[ \frac{M_2}{M_1} =\frac{L_1}{L_2}. \]
Une grosse masse peut donc être en équilibre avec une toute petite sous réserve que le point d’appui $P$ soit proche de la grosse masse [1]. Si le mobile n’est pas parfaitement confectionné et
\[ \frac{M_2}{M_1} < \frac{L_1}{L_2} \]
il se mettra à pencher vers $M_1$.

Les enfants ont déjà fait l’expérience sur une balançoire : le plus lourd avance vers le centre, et le plus léger recule ; en changeant de position au cours du jeu, on peut percher son frère sans effort.

Balançoire

Notons que dans ce cas précis l’hypothèse affirmant que la tige est de masse négligeable n’est peut-être pas tout à fait respectée.

Le mobile à trois masses

Nous pouvons maintenant passer à la difficulté supérieure : construire un mobile
de Calder comportant trois masses.

Mobile de Calder II

The Star, Polychrome sheet metal and steel wire.

Pour cela, inspirons nous du mobile représenté ci-dessus
et cherchons à fabriquer la version simplifiée que voici.

Le mobile à trois ailettes

Il suffit de construire le mobile étape par étape. Intéressons nous tout d’abord à la tige notée $A$, et isolons cette partie du mobile sur une nouvelle figure.

Zoom sur la tige A

Le point de suspension est aux deux tiers de sa longueur. Il joue le même rôle que le point d’appui $P$ de l’exemple précédent : la masse $M_2$ doit donc, comme précédemment, être double de $M_1$. Disons pour fixer les idées que $M_1$ vaut $1$ (kilogramme, par exemple), si bien que $M_2$ est égale à $2$.
Nous voulons maintenant que la tige $B$ soit
à l’équilibre lorsque le mobile est suspendu et nous avons prévu sur notre croquis de suspendre le mobile au milieu de la tige $B$. Il faut donc que les masses pesant de part et d’autre de cette tige soient égales. À gauche, c’est la masse $M_3$ qui est accrochée. À droite c’est la première partie du mobile, constituée de la tige $A$ et des masses $M_1$ et $M_2$. Comme nous supposons que la masse des tiges
est négligeable, la masse de droite est égale à $M_1+ M_2=3$. Ainsi, pour confectionner un mobile correspondant au patron choisi, nous avons nécessairement
\[ M_2=2M_1 \, \text{ et }\, M_3 = M_1 + M_2 \, \text{ donc } \, M_3=3M_1\,; \]
ainsi $M_2=2$ et $M_3=3$ lorsque $M_1=1$.
Ne reste plus qu’à découper la tôle en respectant ces contraintes de masse, puis à
attacher tiges et ailettes de métal en respectant les proportions du schéma. Le mobile sera alors équilibré, comme espéré.

Pour la construction de mobiles plus complexes, on poursuit par étapes : une partie équilibrée du mobile de masse totale $M$, même très compliquée, joue le même rôle qu’une simple masse suspendue au même endroit. Vous pourrez essayer de construire le mobile suivant.

Mobile de Calder III

Ce faisant, en adaptant les masses pour que les points de suspension soient positionnés comme le patron l’indique, et en décomposant le mobile en parties simples que l’on combine entre elles, vous aurez en fait calculé des barycentres et utilisé l’associativité dudit barycentre !

Penchons nos mobiles

À l’évidence, les angles que font les différentes tiges avec l’horizontale jouent un rôle esthétique important. Nous n’avons pas encore abordé ce point car notre règle de construction n’était pas assez détaillée. Jusqu’ici, pour chaque tige, nous considérions les longueurs $L_1$ et $L_2$ entre le point d’accroche et les extrémités et nous cherchions à adapter les masses pour stabiliser les tiges à l’horizontale. Pour obtenir des mobiles dont les tiges sont penchées à volonté, il nous faut une règle de construction plus fine.

Longueurs $L'_1$ et $L'_2$

Les longueurs à considérer ne sont plus les mêmes. Appelons les donc $L'_1$ et $L'_2$ ; $L'_1$ est la distance entre la droite verticale passant par le point de suspension $P$ et celle passant par la masse $M_1$ et $L'_2$ est définie de manière similaire (voir la figure ci-dessus). La règle reste alors la même : pour que le mobile soit à l’équilibre, il faut que le rapport des masses soit l’inverse du
rapport des longueurs,
\[ \frac{M_2}{M_1} =\frac{L'_1}{L'_2}. \]
De même, si
\[ \frac{M_2}{M_1} <\frac{L'_1}{L'_2}. \]
le mobile se met spontanément à pencher plus vers $M_1$.

Reprenons le tout premier mobile que nous proposions de construire, celui avec une tige et deux masses, et posons le mobile au point $P$ sur son support en inclinant la tige. Mesurons maintenant le rapport $L'_1/L'_2$. On constate que $L'_1/L'_2$ ne dépend pas de l’angle d’inclinaison de la tige : c’est le même rapport que pour la tige horizontale, soit $L_1/L_2$ [2]. Pour obtenir un mobile penché, les masses à choisir sont donc les mêmes que pour un mobile horizontal. Insistons : si l’on pose le point $P$ du mobile que nous avons construit initialement en le penchant d’un angle donné, il restera dans cette position.

La balance

Ce constat entre en contradiction avec l’intuition que peut nous procurer l’utilisation d’une balance mécanique à plateaux (certes, elles sont un peu désuètes, mais jamais en panne de pile) : différents angles de tige correspondent à des rapports de masses différents ; pour la balance, égalité des masses et horizontalité sont synonymes ; autrement dit, si les masses à peser sont égales et que l’on penche un peu la tige de la balance, elle reviendra à l’horizontale d’elle même.

La nouveauté par rapport à ce que nous avons expliqué jusqu’ici se situe dans la forme de la tige de la balance et la position de son point d’attache. Pour la balance photographiée ci-dessus, la tige a grosso modo la forme d’un T renversé, comme ceci $\perp$ mais avec une longue barre horizontale.
Notons maintenant $R$ le point d’attache de la tige ; c’est par ce point qu’il faut faire passer la droite verticale permettant de calculer les longueurs. La figure ci-dessous donne les valeurs de $L'_1$ et de $L'_2$ lorsque la balance penche vers $M_2$ d’un angle $Ang=16°$.

Longueurs pour la balance

Ainsi, lorsque la tige est horizontale $L'_1/L'_2=1$ (la balance est symétrique), mais dans sa version penchée, $L'_1/L'_2>1$ (pour l’angle choisi nous avons $L'_1/L'_2=1,13 $). Si les masses situées dans les plateaux sont $M_1$ et $M_2$
et si l’on néglige les masses des tiges et des plateaux, nous savons que
\[ \frac{M_1}{M_2}=\frac{L'_1}{L'_2} \]
lorsque la balance est à l’équilibre. Puisqu’une tige penchée ne conduit jamais à
$L'_1/L'_2=1$, l’horizontalité assure l’égalité des masses. Plus précisément :

  • lorsque la tige est à l’équilibre, le rapport $L'_1/L'_2$ ou, ce qui revient au même, l’angle d’inclinaison de la tige, détermine le rapport $M_1/M_2$ ;
  • les masses sont égales si, et seulement si, la tige est horizontale ;

Imaginons maintenant que $M_1=M_2$, que la balance est horizontale et qu’un malotru vient bousculer ce fragile édifice en faisant descendre $M_2$ et monter $M_1$, comme sur la dernière figure. Alors
\[ \frac{M_2}{M_1}=1 < \frac{L'_1}{L'_2} \]
et la tige se met en mouvement pour faire descendre $M_1$.
La balance retourne toute seule vers son point d’équilibre ... et la balance fonctionne !

Flottements

Les mobiles de Calder flottent doucement [3], les angles des tiges variant légèrement, presque imperceptiblement autour d’une position d’équilibre. L’explication essentielle est fournie par le principe de la balance que nous venons d’expliquer. Les tiges des mobiles de Calder, en effet, sont légèrement courbées. Dessinons un T renversé imaginaire comme sur la figure ci-dessous.

Tige courbée

On s’aperçoit alors, sans calcul, que le comportement du rapport $L'_1/L'_2$ en fonction de l’angle d’inclinaison de la tige est similaire à celui de la balance. Ainsi, comme pour la balance, si un courant d’air perturbe le mobile, il reviendra doucement dans sa position initiale.

Le fait que les masses soient parfois suspendues à des fils n’a par contre aucun effet stabilisant : comme ces fils auxiliaires sont verticaux, leur présence ne modifie pas les longueurs $L'_1$ et $L'_2$ par rapport au cas de masses accrochées directement en bout de la tige principale.

Mobile de Calder IV

Pour expliquer les oscillations des mobiles, il y a un autre effet beaucoup plus faible que l’on peut prendre en compte, qui est lié au déplacement du point de suspension [4]. Pour l’expliquer il faut prendre en compte l’épaisseur du support (ou de l’anneau de suspension), et zoomer au niveau du point de contact. La figure suivante reprend notre premier exemple à deux masses en grossissant le voisinage du point $P$.

Zoom sur le point de contact

Le point de contact du premier mobile, avec un support arrondi.

Maintenant, le support a une certaine épaisseur (la tige aussi). On suppose que la tige est positionnée à l’horizontale, avec des masses parfaitement adaptées (donc $M_2=2M_1$ si l’on poursuit l’étude de notre premier exemple). Quelqu’un entre dans la pièce, crée un courant d’air et notre mobile de Calder bouge. La tige adopte un nouvel angle. Mais, la tige se déplaçant, le point de contact n’est plus le même, comme on le voit sur la figure suivante.

Quand la tige bouge, le point de contact aussi

Ce déplacement a pour effet d’accroître le rapport $L'_1/L'_2$ car il faut maintenant mesurer les longueurs par rapport à la verticale passant par le nouveau point de contact (le point $Q$ de la figure). Ainsi,
\[ \frac{M_2}{M_1} < \frac{L'_1}{L'_2} \]
et le mobile se met à pencher vers $M_1$. Autrement dit, le déplacement du point de contact induit aussi un rappel vers l’équilibre initial.

Tempête

Pour ceux qui ont l’âme tempétueuse et que les mobiles de Calder endorment, mettez de bons roulements à billes aux points d’articulation, et lancez la machine :
ce film vous montre le genre d’animations qu’on peut obtenir. Pour ce qui est de décrire précisément ces mouvements, c’est une autre histoire, qui mêle équations différentielles, systèmes dynamiques ...

P.S. :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Roland Bacher et Quentin LEONE.

Notes

[1Ce principe, qui est le principe du levier est d’ailleurs à l’origine de l’une des citations les plus célèbres d’Archimède : « Πα βω και χαριστιωνι ταν γαν κινησω πασαν » (« Donnez-moi un point d’appui, et je soulèverai le monde. ») (wikipedia)

[2C’est le théorème de Thalès. Si vous ne le connaissez pas, vous pouvez le vérifier expérimentalement.

[3Voir par exemple ce film

[4Nous décrivons ce phénomène car il illustre à nouveau les principes évoqués dans le texte, mais à ce niveau de précision il faudrait aussi prendre en compte la masse de la tige, les frottements, et sans doute d’autres effets ...

Affiliation des auteurs

,

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Isabelle Cantat et Serge Cantat, « Mobiles de Calder »Images des Mathématiques, CNRS, 2013.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Mobiles-de-Calder.html

Si vous avez aimé cet article, voici quelques suggestions automatiques qui pourraient vous intéresser :