Modèles simples du climat 3

Modèles stochastiques

Piste noire Le 18 juillet 2020  - Ecrit par  Nils Berglund Voir les commentaires

Dans cette troisième et dernière partie de notre série d’articles sur quelques modèles simples du climat, nous étudions l’influence de perturbations aléatoires sur le modèle à deux boîtes de la circulation thermohaline décrit dans les parties précédentes. Nous verrons en particulier que l’aléa et un forçage périodique peuvent, dans certains cas, s’associer pour produire des oscillations de grande amplitude entre deux régimes climatiques : c’est ce qu’on appelle la résonance stochastique.

Dans les deux premières parties de cette série d’articles (voir ici et ), nous avons décrit un modèle simple de la circulation thermohaline atlantique nord (c’est-à-dire du Gulf Stream et des courants qui le prolongent jusque dans les régions arctiques), introduit par Henry Stommel et modifié par Paola Cessi. Lorsque le flux d’eau douce véhiculé par l’atmosphère varie périodiquement au cours du temps, les solutions de ce modèle présentent un comportement périodique. La circulation thermohaline alterne entre un régime de circulation forte, comme c’est le cas actuellement, et un autre régime de circulation beaucoup plus faible, qui pourrait être un facteur à l’origine des glaciations.

Rappelons-nous toutefois que notre motivation initiale était d’expliquer les événements de Daansgard-Oeschger (dits D-O), qui sont des réchauffements brusques durant la dernière glaciation, reconstruits dans la figure suivante sur la base de forages dans la calotte glaciaire du Groenland :

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Concentration relative de l’isotope $^{18}O$ de l’oxygène dans les bulles d’air contenues dans une carotte glaciaire issue d’un forage au Groenland. L’échelle horizontale est en milliers d’années avant le présent.

L’apparition de ces événements est loin d’être périodique dans le temps, elle présente plutôt un caractère fortement irrégulier. Le modèle que nous avons considéré jusqu’ici est trop simple pour pouvoir reproduire un tel comportement.

Il existe plusieurs options afin d’enrichir le modèle, pour qu’il produise des évolutions plus réalistes. Une première option est d’augmenter le nombre de variables, par exemple en ajoutant des boîtes supplémentaires. Celles-ci peuvent correspondre à d’autres régions de l’Atlantique, ou de l’atmosphère, ou encore aux calottes glaciaires. Si l’on fait varier la position de manière continue au lieu d’utiliser un nombre fini de boîtes, on aboutit à un système d’équations aux dérivées partielles (EDP). Ces équations sont importantes dans les modèles réalistes du climat, mais leur analyse est beaucoup plus difficile et se prête moins bien à une compréhension qualitative.

Ajout d’un bruit

Une alternative de complexité moindre que les EDP est offerte par les équations différentielles ordinaires avec un terme de bruit, appelées aussi équations différentielles stochastiques (EDS). Il s’agit d’équations de la forme
\[ \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = f(x) + \text{bruit} \]
où le terme de bruit agit comme une force aléatoire. Ce bruit est une représentation simplifiée des forces que l’on a négligées dans le modèle initial, de la même manière qu’il est plus simple de considérer qu’un dé a une probabilité de $\frac16$ de tomber sur chacune de ses six faces, plutôt que d’essayer de décrire son mouvement en détail.

Il existe plusieurs modèles mathématiques d’un bruit, dont le plus simple à implémenter est le bruit blanc. Considérons une particule immergée dans un fluide, et subissant des collisions avec les molécules de ce fluide. Son mouvement ressemble à une marche aléatoire, c’est-à-dire à une trajectoire qui change de direction au hasard à instants réguliers. Si l’on fait tendre vers zéro l’intervalle de temps entre changements de direction, ainsi que la distance parcourue entre collisions, on obtient un mouvement brownien [1], comme l’illustre l’animation suivante :

Si, en plus de l’effet des collisions avec les molécules du fluide, la particule se déplace proportionnellement à une quantité $f(x)$, résultant de forces non aléatoires, son mouvement sera décrit par l’équation
\[ x(t + \Delta t) = x(t) + f(x(t)) \Delta t + \sigma [W(t+\Delta t) - W(t)] \]
où les incréments $[W(t+\Delta t) - W(t)]$ sont aléatoires, indépendants en des temps différents, et de même distribution, de variance $\Delta t$ [2]. Plus précisément, on considère la limite où l’intervalle de temps $\Delta t$ tend vers zéro. On a l’habitude d’écrire l’équation limite sous la forme
\[ \text{d}x(t) = f(x(t))\text{d}t + \sigma \text{d}W(t) \]
appelée une équation différentielle stochastique (EDS). On trouvera dans cet article sur Images des Mathématiques des détails sur la définition mathématique de ces équations.

Le terme $ \sigma \text{d}W(t)$ représente l’effet du bruit blanc, dont le paramètre $\sigma>0$ mesure l’intensité. Ce bruit étant aléatoire, il n’existe plus une seule trajectoire $x(t)$, mais plutôt une certaine probabilité d’observer tel ou tel ensemble de trajectoires. Autrement dit, on cherche une distribution de probabilité
sur l’ensemble des trajectoires. On peut alors se poser des questions comme « Quelle est la probabilité que $x(t)$ se trouve dans une région $A$ ? »

Caractérisation du bruit

Comment choisit-t-on le paramètre $\sigma$, qui mesure l’intensité du bruit ? On peut le faire par l’observation des trajectoires $x(t)$. Comme nous allons le voir plus bas dans des simulations, ces trajectoires fluctuent autour de points d’équilibre stables de $f$. On peut montrer que l’amplitude de ces fluctuations (plus précisément, leur écart-type), est proportionnel à $\sigma$. La détermination de cet écart-type par des observations permet alors d’estimer $\sigma$.

Un objectif plus ambitieux est de déduire l’équation différentielle stochastique d’un modèle plus réaliste du système. Ce problème est encore largement ouvert. Toutefois, une telle dérivation a pu être menée à bien pour certains systèmes idéalisés, notamment dans le cas d’un sous-système couplé à des bains thermiques [EPR]. Ce type d’études fait apparaître la nécessité de remplacer le bruit blanc par un bruit plus « coloré » (appelé processus d’Ornstein—Uhlenbeck), et d’autres modèles mathématiques du bruit peuvent être plus appropriés selon le système que l’on souhaite modéliser.

Sortie d’un puits de potentiel

Nous avons vu dans la deuxième partie de cette série d’articles que la dynamique de la différence de salinité pouvait être vue comme le mouvement suramorti d’une bille dans un potentiel $V$, d’équation [3]
\[ \frac{\text{d}y}{\text{d}t} = - V'(y) \]
Pour des valeurs intermédiaires du flux d’eau douce, le potentiel $V$ a deux minima, correspondant à deux états d’équilibre stables de la circulation thermohaline :

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Un potentiel à deux puits. La barrière de potentiel à franchir pour quitter le puits de gauche est notée $H$.

L’analogue stochastique de cette équation s’écrit
\[ \text{d}y(t) = - V'(y(t))\text{d}t + \sigma \text{d}W(t) \]
Le terme de bruit produit un effet nouveau : la bille peut s’échapper d’un puits de potentiel, sous l’effet cumulé des impulsions aléatoires. Le temps nécessaire à la bille pour s’échapper est également aléatoire, et a été étudié en détail. Ses deux propriétés les plus importantes sont les suivantes :

  1. La moyenne du temps de sortie (c’est-à-dire ce que l’on appelle son espérance mathématique) se comporte comme $\text{e}^{2H/\sigma^2}$ lorsque le bruit est faible (c’est-à-dire lorsque $\sigma$ est petit), où $H$ est la hauteur de la barrière de potentiel, c’est-à-dire la différence entre le potentiel en son maximum local et au minimum duquel on part. Ce résultat porte le nom de loi d’Arrhenius.
  2. Ce temps est rarement beaucoup plus grand : la probabilité qu’il soit
    plus grand qu’un nombre $x$ décroît exponentiellement avec $x$.

Une solution typique de l’équation est représentée dans la figure suivante. Les lignes horizontales représentent les deux minima locaux du potentiel, ainsi que son maximum local. Comme on le voit, cette trajectoire est composée de périodes où elle fluctue autour de l’un des deux minima locaux, et de transitions, à des temps aléatoires, d’un minimum vers l’autre. Ce comportement est compatible avec le point de vue soutenu dans l’article [Di], selon lequel les événements D-O sont essentiellement aléatoires. [4]

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Solution de $\text{d}y(t) = [y(t)-y(t)^3]\text{d}t + \sigma \text{d}W(t)$ pour $\sigma=0,\!3$.

Forçage périodique

Que se passe-t-il alors pour l’équation forcée périodiquement, donnée par [5]
\[ \text{d}y(t) = - \frac{\partial V}{\partial y}(y(t),t)\text{d}t + \sigma \text{d}W(t) \]
avec $V(y,t)$ un potentiel à deux puits, mais dont la profondeur varie périodiquement au cours de temps ? C’est la situation qui correspond à un flux d’eau douce variant périodiquement, mais restant toujours dans la zone où la circulation thermohaline admet deux équilibres stables. Dans ce qui suit, nous supposerons que
\[ V(y,t) = \frac14 y^4 - \frac12 y^2 - A \cos(\omega t) y \]
Cette forme est équivalente, par un changement de variable affine, à celle considérée dans la deuxième partie [6]. Notons que
\[ - \frac{\partial V}{\partial y}(y,t) = y - y^3 + F(t) \]

\[ F(t) = A \cos(\omega t) \]
représente le forçage périodique.

Les trois figures suivantes montrent des trajectoires typiques, obtenues pour des valeurs croissantes de l’amplitude $A$ du terme de forçage [7]. Les courbes en noir indiquent où se trouvent les deux minima et le maximum local du potentiel. Ceux-ci dépendent maintenant du temps, puisque $V(y,t)$ dépend également du temps.

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Une trajectoire pour $\sigma=0,\!27$, $\omega=0,\!003$ et $A=0,\!1$.
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Une trajectoire pour $\sigma=0,\!2$, $\omega=0,\!003$ et $A=0,\!24$.
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Une trajectoire pour $\sigma=0,\!2$, $\omega=0,\!003$ et $A=0,\!35$.

On constate que les transitions entre les puits, bien que restant aléatoires, sont plus probables à certains moments qu’à d’autres. Plus précisément, elles ont lieu plus souvent lorsque le minimum du potentiel autour duquel fluctue la trajectoire se rapproche du maximum local. On peut également le voir sur cette animation, qui correspond à des paramètres intermédiaires entre ceux des deux dernières figures.

Résonance stochastique

Ce phénomène de concentration des temps où ont lieu les transitions est appelé résonance stochastique, car on peut le voir comme une résonance entre le forçage périodique et le bruit. Une explication intuitive en est la suivante. Comme le potentiel dépend du temps, la barrière de potentiel à franchir pour quitter l’un des puits de potentiel est également une fonction $H(t)$ du temps. Le temps de sortie moyen dû au bruit se comporte donc comme $\text{e}^{2H(t)/\sigma^2}$. Mais pendant que la bille essaie de s’échapper, le potentiel se déforme à fréquence $\omega$, donc avec une période $T = 2\pi/\omega$. Les transitions deviennent donc probables aux instants $t$ auxquels $\text{e}^{2H(t)/\sigma^2}$ est faible par rapport à la période $T$.

La résonance stochastique a été proposée comme mécanisme gouvernant les glaciations au début des années 1980, de manière indépendante, par deux chercheurs belges [NN] et par un groupe de chercheurs italiens [BPSV]. Si cette explication reste controversée en climatologie, la résonance stochastique a depuis été proposée comme intervenant dans de nombreux phénomènes naturels, ainsi que dans certaines applications technologiques. La résonance stochastique peut se produire dès que le système considéré subit à la fois un forçage périodique, et un bruit.

L’intérêt du phénomène est lié au fait qu’il produit un effet d’amplification : une petite oscillation périodique, conjuguée au bruit, peut provoquer une réponse avec de grandes oscillations. Cela peut se produire notamment en neurosciences, lorsque le système sensoriel de certains animaux devient plus efficace en présence d’un bruit extérieur. Par exemple, l’article [WM] argumente que la résonance stochastique pourrait expliquer pourquoi certaines espèces d’écrevisses arrivent à mieux détecter des prédateurs dans un environnement légèrement bruité.

La résonance stochastique a suscité une activité de recherche très intense, d’abord dans le monde de la physique théorique à partir des années 1990, puis en mathématiques à partir des années 2000. Le nombre de publications sur ce sujet est gigantesque et il n’est pas possible d’en donner une vue d’ensemble ici. Mentionnons toutefois l’article de revue [GHJM] pour les approches de physique théorique, et le chapitre 4 de la monographie [BG1] ainsi que le livre [HIPP] pour des approches plus mathématiques, qui établissent des relations précises entre la période du forçage, l’intensité du bruit, et la probabilité des transitions entre puits de potentiel.

Hystérésis et bruit

Nous allons illustrer certains de ces résultats (contenus en particulier dans l’article [BG2]) dans le cas de l’équation
\[ \text{d}y(t) = [y(t) - y(t)^3 + F(t)]\text{d}t + \sigma \text{d}W(t) \]
déjà considérée plus haut, avec à nouveau le forçage périodique
\[ F(t) = A \cos(\omega t) \]
La figure suivante montre des solutions, représentées dans le plan $(F,y)$, pour différentes valeurs des paramètres. Les trajectoires rouges sont des solutions de l’équation avec bruit, alors que les courbes bleues (peu visibles dans certains cas) correspondent au cas sans bruit (donc avec $\sigma=0$). Les courbes noires en traits pleins sont les états d’équilibre stables du système statique, alors que les courbes noires en pointillés sont ses états d’équilibre instables.

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Solutions de l’équation différentielle stochastique (en rouge) et de l’équation différentielle sans bruit (en bleu). Les valeurs des paramètres sont : (a) $\varepsilon = 0,\!001$, $\sigma = 0,\!05$ et $A = 0,\!28$, (b) $\varepsilon = 0,\!005$, $\sigma = 0,\!04$ et $A = 0,\!42$, (c) $\varepsilon = 0,\!05$, $\sigma = 0,\!16$ et $A = 0,\!37$.

On observe trois comportement qualitativement différents :

  • La figure (a) montre un cas où l’amplitude $A$ du forçage et l’intensité $\sigma$ du bruit sont relativement faibles. Dans ce cas, l’effet du bruit est simplement de faire fluctuer la solution légèrement autour de l’état d’équilibre statique. Cela signifie que le bruit ne provoque pas de transitions entre différents régimes de la circulation thermohaline.
  • La figure (b) montre un cas où l’amplitude $A$ du forçage est assez élevée pour provoquer un comportement d’hystérésis, comme discuté dans la deuxième partie. Le bruit, toujours assez faible, ne produit que de petites fluctuations autour du cycle d’hystérésis. Remarquons que, comme déjà observé dans la partie précédente, ce cycle est légèrement plus grand que dans le cas statique, en raison de l’inertie du système.
  • La figure (c) enfin montre un cas où l’amplitude $A$ du forçage a une valeur intermédiaire, mais le bruit est plus important. Dans ce cas, c’est le bruit qui est responsable du comportement d’hystérésis, en provoquant des transitions entre états d’équilibre même lorsque le forçage $F(t)$ n’est pas maximal. Remarquons en particulier que le cycle d’hystérésis est maintenant plus petit que dans le cas statique !

La théorie des équations différentielles stochastiques permet alors d’obtenir une version quantifiée des observations ci-dessus, en déterminant, en fonction des valeurs des paramètres, la probabilité d’observer un cycle d’hystérésis de telle ou telle nature [BG3].

Quelle importance pour les modèles climatiques ?

Les modèles considérés dans les deux parties précédentes présentaient certains inconvénients. Le modèle dynamique avec forçage périodique, notamment, n’admettait que des solutions périodiques, ce qui ne correspond pas aux observations. L’ajout d’un terme de bruit supprime ce défaut, puisque les solutions du modèle adoptent maintenant un comportement plus irrégulier, avec des transitions aléatoires entre états d’équilibre. Bien entendu, ceci rend aussi les prédictions moins précises, puisqu’au lieu d’obtenir des réponses certaines, on ne peut calculer que des probabilités de certains événements, tels qu’une transition entre deux états d’équilibre. La résonance stochastique montre toutefois que dans certaines situations, on arrive à trouver des intervalles de temps dans lesquels ces transitions sont les plus probables, ce qui est une information utile.

Les équations différentielles stochastiques sont des modèles mathématiques de complexité intermédiaire entre les équations différentielles ordinaires (c’est-à-dire sans bruit), et des modèles plus sophistiqués tels que les équations aux dérivées partielles.

Comme nous l’avons vu, l’ajout d’un terme de bruit peut, dans certains cas, occasionner des transitions entre régimes climatiques pour des valeurs moins extrêmes du flux d’eau douce que ce qui est prédit par le modèle sans bruit. Le système climatique est donc parfois plus sensible que prédit par les modèles déterministes simples !

Tout en étant plus riches, les modèles stochastiques considérés ici restent suffisamment simples pour pouvoir être analysés mathématiquement. Ceci fournit une meilleure compréhension des mécanismes en jeu, sans nécessiter des simulations numériques très lourdes. Bien entendu, ce genre de simulations reste nécessaire dans un second temps, afin d’obtenir des prédictions plus quantitatives.

Bibliographie

[BPSV] Benzi, R., Parisi, G., Sutera, A. and Vulpiani, A. (1983), A theory of stochastic resonance in climatic change. SIAM J. Appl. Math., 43 : 565-578.

[BG1] Berglund, N. and Gentz, B. (2004), Noise-Induced Phenomena in Slow-Fast Dynamical Systems. A Sample-Paths Approach. Springer, Probability and its Applications.

[BG2] Berglund, N. and Gentz, B. (2002), Metastability in simple climate models : Pathwise analysis of slowly driven Langevin equations. Stoch. Dyn. 2:327-356. Version prépublication.

[BG3] Berglund, N. and Gentz, B. (2002), The effect of additive noise on dynamical hysteresis. Nonlinearity 15:605-632. Version prépublication.

[Di] Ditlevsen, P. D. ; et al. (2007), The DO-climate events are probably noise induced : statistical investigation of the claimed 1470 years cycle. Clim. Past. 3 : 129-134.

[EPR] Eckmann, J.-P., Pillet, C.-A. and L. Rey-Bellet, L. (1999), Non-Equilibrium Statistical Mechanics of Anharmonic Chains Coupled to Two Heat Baths at Different Temperatures->https://link.springer.com/article/10.1007/s002200050572]. Communications in Mathematical Physics, 201 : 657-697. Version prépublication.

[GHJM] Gammaitoni, L., Hänggi, P., Jung, P. and Marchesoni, F. (1998),
Stochastic resonance. Rev. Mod. Phys., 70 : 223-287.

[HIPP] Herrmann, S., Imkeller, P., Pavlyukevich, I. and Peithmann, D. (2013), Stochastic Resonance : A Mathematical Approach in the Small Noise Limit. American Mathematical Society, Mathematical Surveys and Monographs.

[NN] Nicolis, C. and Nicolis, G. (1981), Stochastic aspects of climatic transitions—additive fluctuations. Tellus, 33 : 225-234.

[NN] Nicolis, C. and Nicolis, G. (1981), Stochastic aspects of climatic transitions—additive fluctuations. Tellus, 33 : 225-234.

[WM] Wiesenfeld, K. and Moss, F. (1995), Stochastic resonance and the benefits of noise : from ice ages to crayfish and SQUIDs. Nature, 373 : 33-36. Article accessible ici.

Post-scriptum :

Un grand merci aux relecteurs Jean-Romain et Lalanne pour leurs remarques, qui ont permis de rendre cet article plus clair.

Article édité par Jérôme Buzzi

Notes

[1Pour obtenir un limite bien définie, il faut que la longueur $\Delta x$ des pas soit proportionnelle à la racine carrée des intervalles de temps $\Delta t$ entre collisions.

[2La distribution des incréments $[W(t+\Delta t) - W(t)]$ peut être prise selon une loi normale, centrée, et de variance $\Delta t$.

[3Comme expliqué dans la deuxième partie, l’interprétation de la dérivée du potentiel $V$ comme une force proportionnelle à la vitesse (et non à l’accélération) de la bille se justifie car la bille est suramortie, c’est-à-dire soumise à une force de frottement assez forte.

[4Plus précisément, les durées aléatoires entre transitions suivent une loi proche d’une loi exponentielle. Les instants auxquels les transitions ont lieu sont alors bien décrits par un processus de Poisson.

[5Comme le potentiel $V$ dépend maintenant de deux variables $y$ et $t$, nous avons écrit $\frac{\partial V}{\partial y}$ pour la dérivée par rapport à la variable $y$.

[6Dans la deuxième partie, la force avait la forme $-V'(y) = -ay^3 + 2ay^2 - (a+1)y + p$. En dérivant deux fois cette expression, on obtient la fonction $-V'''(y) = -6ay+4a$. Celle-ci s’annule en $y=\frac23$, qui représente donc un point d’inflexion de la force. On prend alors ce point d’inflexion comme nouvelle origine du système de coordonnées, c’est-à-dire qu’on pose $y=\frac23+z$. Le potentiel $V(\frac23+z)$ est alors un polynôme de degré $4$ sans terme d’ordre $3$. On obtient la forme simplifiée du potentiel en changeant d’unités d’espace et de temps afin d’obtenir les bons coefficients devant les termes d’ordre $2$ et $4$, et en annulant le terme constant, qui n’a pas d’influence sur la dynamique.

[7L’intensité $\sigma$ du bruit a été prise légèrement plus forte dans le premier graphique pour que l’on observe des transitions d’un puits à l’autre.

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Pour citer cet article :

Nils Berglund — «Modèles simples du climat 3» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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