Modélisation de mouvements de foules

Piste noire Le 16 janvier 2011  - Ecrit par  Bertrand Maury Voir les commentaires (6)

Au premier abord, les mouvements de foules se prêtent assez peu à la démarche de modélisation mathématique.
Les tendances peuvent être très variables d’un individu à l’autre, le comportement d’un individu donné est lui-même peu prévisible, et le grand nombre d’individus potentiellement en interaction rend difficile une formalisation rigoureuse de ces phénomènes.
Nous proposons ici de montrer qu’une approche simpliste sur le plan de la modélisation des comportements individuels associée à une prise en compte appropriée des interactions entre individus permet pourtant de reproduire certains phénomènes non triviaux observés en pratique. Le modèle que nous décrivons ici est basé sur la notion de flot de gradient, qui fait l’objet du premier paragraphe.

Flots de gradient

Considérons une personne perdue dans la montagne en plein brouillard, qui cherche à rejoindre la vallée au plus vite. On peut imaginer qu’elle tâtonne autour d’elle pour estimer dans quelle direction aller (en l’occurrence la direction de plus grande pente), fait un ou plusieurs pas dans cette direction, puis recommence le processus. Pour formaliser cette démarche, on décrit le profil de la montagne par une fonction $f({\bf x})$ qui représente l’altitude au point ${\bf x}$ du plan (on peut voir ce point ${\bf x}$ comme le couple latitude-longitude qui positionne un point à la surface du globe).

Si l’on numérote par $1$, $2$,..., $n$,... les instants auxquels elle fait le point et par ${\bf x}_1$, ${\bf x}_2$,..., ${\bf x}_n$ les positions correspondantes, le parcours de notre promeneur est défini par
\[ {\bf x}_{n+1} = {\bf x}_{n} -h \nabla f ({\bf x}_{n}), \]
où $h$ est un paramètre qui quantifie la taille des pas. Le vecteur $\nabla f ({\bf x}_{n})$, appelé gradient de $f$ au point ${\bf x}_{n}$, correspond à la direction de plus grande pente : il pointe vers les valeurs croissantes de $f$ et sa longueur est d’autant plus grande que l’altitude augmente vite. Le signe moins permet donc de pointer vers la direction de descente maximale. Le gradient est représenté sous la forme d’une flèche noire sur le dessin ci-dessous (les traits courbes sont les lignes de niveau de la fonction altitude, telles qu’elles sont représentées sur une carte d’état-major), et la flèche en pointillés bleus indique un pas effectué suivant cette procédure.

La stratégie suivie peut aussi s’écrire
\[ \frac { {\bf x}_{n+1} - {\bf x}_{n}} {h} = - \nabla f ({\bf x}_{n}). \]
On peut ainsi s’attendre à ce que la trajectoire effective du promeneur soit proche de la solution de l’équation différentielle suivante
\[ \frac { d{\bf x}} {dt} = - \nabla f ({\bf x}). \]

En présence d’un obstacle (rocher, crevasse), la direction de plus grande pente peut être exclue. Le promeneur choisira alors, parmi les directions possibles, celle qui s’en rapproche le plus. On peut formaliser cela en notant $C_{\bf x}$ l’ensemble des vitesses admissibles (c’est-à-dire réalisables compte tenu de l’obstacle) au point ${\bf x}$, en écrivant que la vitesse effective du promeneur est la projection de cette vitesse souhaitée sur $C_{\bf x}$ (c’est-à-dire, parmi les vitesses admissibles, celle qui est la plus proche de la vitesse souhaitée), ce qui conduit à l’équation d’évolution
\[ \frac { d{\bf x}} {dt} = P_{C_{{\bf x}}}\left ( -\nabla f({\bf x})\right ) . \]
L’obstacle est représenté en rouge sur la figure ci-dessous, et la flèche bleue indique un pas du marcheur qui suit au plus près la direction de plus grande pente descendante parmi les directions possibles.

GIF

Modèle de foule

Considérons maintenant une foule de $N$ individus dans un bâtiment, et imaginons qu’à un instant donné un incendie se déclenche, provoquant la ruée des personnes vers la sortie la plus proche.
On suppose ici que les personnes connaissent la topographie des lieux : chaque personne est individuellement capable de déterminer sa stratégie optimale d’évacuation, c’est à dire le plus court chemin vers la sortie la plus proche.

Introduisons $D({\bf x})$ la distance d’un point ${\bf x}$ à la sortie (en tenant compte des obstacles). Pour chaque individu, cette distance joue le rôle de l’altitude dans l’exemple du promeneur perdu : il s’agit de la rendre la plus petite possible. Pour une personne seule, il est raisonnable de décrire son mouvement par un flot de gradient associé à cette distance $D$ (vue comme une quantification de l’insatisfaction, que l’on cherche à minimiser)
\[ \frac { d{\bf x}} {dt} = - \nabla D ({\bf x}). \]
Considérons maintenant la population dans son ensemble comme une entité unique, décrite à chaque instant par un vecteur position
\[ {\bf X} = ({\bf x}_1,{\bf x}_2,\dots,{\bf x}_N), \]
auquel on associe une fonction d’insatisfaction globale. Si personne n’est privilégié, on définit cette fonction $F$ comme la somme des insatisfactions (i.e. distances à la sortie) de tous les individus :
\[ F({\bf X}) = D({\bf x}_1) + D({\bf x}_2)+ \dots + D({\bf x}_N). \]
Toutes les configurations ne sont pas permises : deux personnes ne peuvent pas être au même endroit et au même moment. Si l’on identifie les personnes à des disques de même rayon $r$, interdire les chevauchements revient à définir un ensemble de configurations admissibles de la façon suivante
\[ K = \{ {\bf X}\, , \,\,|{\bf x}_j - {\bf x}_i | \geq 2r \hbox{ pour tous } i\neq j \} \]
Le non-chevauchement entre deux individus peut donc être vu comme une zone interdite de l’espace à $2N$ dimensions décrivant notre système,
un obstacle infranchissable (comme le rocher du premier exemple), sur lequel notre individu $N$-céphale vient butter.
Pour toute configuration donnée ${\bf X}$, toutes les vitesses ne sont pas permises : certaines sont susceptibles de violer la contrainte de non-chevauchement. Pour chaque couple $(i,j)$ d’individus, on écrira simplement que, si les personnes sont en contact, la distance ne peut qu’augmenter (ou rester nulle), ce qui impose à la vitesse globale (collection des vitesses des individus) d’appartenir à un certain demi-espace de l’espace total ${{R}}^{2N}$ des vitesses possibles. L’ensemble $C_{\bf X}$ des vitesses admissibles est donc l’intersection d’un nombre (potentiellement important) de demi-espaces contenant l’origine (la vitesse nulle est toujours admissible).

Comme dans le premier exemple, on peut écrire le flot de gradient associé au mouvement de ${\bf X}$, qui exprime simplement que la population tend à minimiser son insatisfaction globale sous la contrainte de congestion (non-chevauchement entre individus) :
\[ \frac { d{\bf X}} {dt} = P_{C_{\bf X}}\left ( -\nabla F ({\bf X})\right ) . \]

On peut montrer sous des hypothèses raisonnables que le problème est bien posé, c’est à dire qu’étant donnés une configuration (forme de la pièce) et une configuration initiale (positions des gens au temps 0), existe une unique solution au problème (le lecteur familier avec l’analyse convexe trouvera dans [1] une démonstration rigoureuse de cette propriété).

Au delà de ce résultat théorique, qui finalement en dit peu sur le modèle, il est naturel de se poser les questions suivantes :

1) Ce modèle simpliste permet-il de reproduire des phénomènes observés en pratique dans les situations d’évacuation ?

2) Cette stratégie de flot de gradient, basée sur un comportement « reptilien » des individus (il n’y a pas de stratégie collective, ni même d’adaptation des stratégies personnelles à la présence d’autres individus) est-elle efficace en termes d’évacuation ?

Le phénomène de blocage que nous allons décrire maintenant permet de répondre au moins partiellement à la première question, et assez complètement (et négativement) à la seconde.

On considère pour cela la situation d’un certain nombre d’individus, identifiés donc à des cercles dans le cadre de notre modèle, qui cherchent à évacuer une pièce carrée. L’animation suivante représente l’évolution au cours du temps de la foule (calculs réalisés par Juliette Venel) :

On notera le bouchon qui se forme en amont de la porte, et les zones de forte congestion induites (la couleur rouge représente la pression subie par les individus).

La simulation met en évidence le phénomène suivant : à un instant donné, la situation se bloque complètement. Les gens continuent à pousser, mais sans effet apparent.
La figure suivante permet de se faire une idée du réseau de forces qui s’établissent dans un telle situation. Les segments relient les centres des disques en contact, et la couleur est d’autant plus chaude (rouge) que la force de compression associée au contact est importante.

Le modèle simpliste proposé permet donc de reproduire un phénomène non trivial observé en pratique dans des situations de forte panique : une foule peut se retrouver bloquée en amont d’un porte ouverte, a priori suffisamment large pour laisser passer plusieurs individus de front. Cette observation permet de donner une réponse négative à la seconde question, qui portait sur l’efficacité de la stratégie, pour autant que l’on puisse parler de stratégie, observée par la foule.

Pourtant les mathématiciens connaissent une situation dans lequel le flot de gradient est la meilleure solution : lorsque la fonction à minimiser est convexe, et lorsque l’ensemble des configurations admissibles est lui même convexe, ce qui signifie que si l’on prend deux configurations admissibles quelconques, le segment qui les relie est constitué de configurations admissibles.
Il est naturel de se demander quelle est la cause de l’inefficacité du flot de gradient. Cette cause est à chercher dans l’ensemble des configurations admissibles lui-même : l’ensemble des configurations de disques sans chevauchement n’est pas convexe.

Un retour sur le principe abstrait de flot de gradient et sur l’exemple du promeneur perdu permet de mieux comprendre ce qui se passe. La foule peut se voir comme une entité multicéphale se promenant sur une “montagne”, le rôle de l’altitude (hauteur verticale) étant joué par l’insatisfaction totale, et les obstacles sont les zones interdites qui correspondraient au chevauchement entre plusieurs individus. Le phénomène de blocage peut se représenter par la figure ci-dessous.
Les lignes isovaleur de la fonction d’insatisfaction sont indiquées en noir (insatisfaction croissante vers la droite), la trajectoire que l’on aurait sans contrainte est indiquée en pointillé noir, et la trajectoire effective (qui contourne les obstacles) est indiquée en rouge. Du fait de la non convexité de l’ensemble des configurations admissibles, on voit que la trajectoire effective peut se retrouver coincée dans un creux, c’est ce qui arrive lorsque l’on a blocage en amont d’une porte.
Sortir de ce creux ne peut se faire qu’en sacrifiant provisoirement un peu de satisfaction, ce que le principe d’évolution reptilien ne prévoit pas.

La figure ci-dessus suggère qu’il est aisé d’améliorer la situation : il suffit manifestement de contourner le creux sur la droite. On gardera à l’esprit que cela suppose que le point voie et anticipe l’obstacle, obstacle qui est dans la réalité qui nous intéresse une zone de l’espace à $2N$ dimensions dans lequel évolue la foule, aux contours d’une grande complexité. Par ailleurs, comme le point représenté sur la figure précédente est en fait constitué d’un grand nombre d’individus, l’adaptation de sa trajectoire aux contraintes extérieures correspondrait à une prise de décision collective, avec concertation globale des individus, ce que précisément la foule en situation de panique n’a pas tendance à réaliser en général. Amener la foule à contourner l’obstacle nécessite une vision d’ensemble du processus, et la stratégie consistant à exercer un contrôle sur les personnes de façon à éviter ces situations de blocages est envisageable dans certaines situations particulières, comme dans un cadre militaire (évacuation d’un sous-marin par exemple), dans lequel on peut concevoir que des personnes soient amenées à suivre un comportement qui ne correspond pas à la satisfaction immédiate de leurs tendances personnelles. Mais dans le cas de l’évacuation d’urgence d’une foule de gens non préparés, les tendances individualistes reprennent en général le dessus.
Noter cependant que des études récentes [2] remettent en cause la pertinence de ce modèle purement individualise. Certains événements récents mettent notamment en évidence la capacité de foules à mettre en place spontanément des stratégies collectives d’évacuation.

On a vu ainsi que les blocages étaient liés à la non convexité de l’ensemble des configurations admissibles, en particulier dans les zones de forte congestion (près de la sortie), il est donc naturel de chercher à « convexifier » cet ensemble. On peut réaliser au moins partiellement cette opération en faisant en sorte que la sortie soit plus proche d’un couloir (pour lequel l’ensemble $K$ est convexe), par exemple en rajoutant un obstacle qui force les gens à former des lignes en amont de la sortie. Cette approche est illustrée par l’animation suivante : l’ajout d’un tel obstacle a supprimé le phénomène de blocage.

Conclusion

Ce modèle simpliste permet donc de reproduire et mieux comprendre certains phénomènes complexes, voire de suggérer des pistes pour améliorer la fluidité des processus d’évacuation.
Noter que cette approche est utilisée en pratique par les architectes (et l’était à vrai dire bien avant l’apparition des modèles mathématiques !).

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive,
les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Rémi Peyre et Thierry Monteil.

Article édité par Jacques Istas

Notes

[1B. Maury et J. Venel, A Discrete Contact Model for Crowd Motion, accepted in M2AN, 2010 (télécharger le preprint)

[2 Des foules solidaires , par John Drury & Stephen Reicher, Cerveau & Psycho n° 43 (janvier 2011), pp. 47-52.

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Pour citer cet article :

Bertrand Maury — «Modélisation de mouvements de foules» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

  • Modélisation de mouvements de foules

    le 16 janvier 2011 à 12:09, par Damien Gayet

    Merci beaucoup pour ce très bel article, et ces deux animations spectaculaires et contre-intuitives (par ailleurs il me semble qu’Etienne Ghys avait sur ce site rédigé un article au sujet de ce phénomène d’obstacle améliorant les évacuations, mais je ne le retrouve pas.)

    J’ai une question totalement égoïste (en supposant que votre réponse ne soit pas ébruitée) : dans une file d’attente « large » (type couloir), où les individus peuvent se répartir sur une certaine largeur qui peut se réduir, comme au ski ou dans le métro avant un escalator, vaut-il mieux faire la queue sur le côté ou au milieu de la foule ?

    En classe prépa je pensais que les foules étaient des fluides, et donc que la vitesse était nulle au bord, mais plus tard on m’avait dit qu’une foule était plutôt un milieu granulaire, et qu’il valait donc mieux être au bord. Est-ce que votre modèle répond à cette question ?

    Merci, Damien

    Répondre à ce message
    • Modélisation de mouvements de foules

      le 16 janvier 2011 à 20:01, par Aurélien Alvarez

      Cher Damien,

      Je pense que tu fais référence à cet article :

      http://images.math.cnrs.fr/Le-prix-de-l-anarchie.html

      Salut, Aurélien.

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    • Modélisation de mouvements de foules

      le 18 janvier 2011 à 11:48, par Bertrand Maury

      Merci pour ces commentaires.
      Pour la question sur les stratégies optimales, j’ai peur que le modèle proposé soit un peu limité pour y répondre de façon pertinente, mais cela donne quand même quelques éléments qui semblent se comparer assez bien avec la réalité. En premier lieu, il est important de garder à l’esprit que les animations présentées sont basées sur l’hypothèse que les gens sont interchangeables : leur vitesse souhaitée ne dépend que de leur position d’une part, et d’autre part ils ont tous la même « force », ou la même volonté de réaliser leur objectif. Dans ce contexte, il apparaît clairement d’après le modèle qu’il vaut mieux adopter une posture « mainstream » : les gens qui arrivent par le côté sont en général les derniers à sortir, même s’ils étaient initialement proches de la sortie. Une personne m’a incidemment déclaré avoir changé sa stratégie d’accès aux escalators de Châtelet après avoir vu ces animations, évitant l’accès par le côté quitte à repartir un peu en arrière pour récupérer le flot central, et cela semble avoir diminué son temps d’attente. Maintenant, une personne fortement motivée, d’une certaine force physique, et dotée d’un solide individualisme, pourra forcer le passage en attaquant par le côté pour s’intégrer au flot principal. Un tel phénomène peut être intégré au modèle en considérant que la projection $\ell^2$ (au sens des moindres carrés) se fait selon une norme euclidienne pondérée (matrice diagonale, mais non scalaire, avec un poids supérieur pour les individus les plus « motivés »). Nous avons fait quelque tests dans ce sens, il apparaît que si le nombre de tels individus est limité, leur devenir est en effet amélioré (au dépens d’autres personnes), mais que si leur proportion devient trop importante, cela peut renforcer l’effet de blocage, et pénaliser l’ensemble de la population (y compris eux-mêmes).

      Pour la question sur la nature fluide de la foule, je crains de ne pas avoir de réponse définitive. A très grande échelle (grand nombre d’individus), et à fortiori lorsque le flot n’est pas trop congestionné (quand les gens parviennent à préserver une distance strictement positive avec leur voisin), l’écoulement est assez proche de celui d’un fluide compressible, mais non visqueux, c’est à dire que la vitesse n’est pas forcément nulle au bord (même quand ce bord est constitué par un obstacle physique de type mur). En revanche lorsque la congestion est importante (typiquement losrque chaque personne est en contact physique avec au moins 3 de ses voisins (3 étant le nombre de disques fixes qu’il faut placer autour d’un disque donné pour le « bloquer »), le comportement est beaucoup plus proche en effet les milieux granulaires, avec son lot d’effets contre-intuitifs. L’un de ces effets à la fois le plus spectaculaire et le plus facile à observer est celui du sable mouillé : lorsque l’on marche sur la plage peu après que la mer s’est retirée, le sable s’assèche autour du pied, alors qu’on pourrait s’attendre à voir le sable dégorger son eau. L’explication est la suivante : la sable qu’on a laissé se tasser tranquillement a atteint un maximum (au moins local, typiquement autour de 64%) de fraction solide, et qu’il ne peut se déformer qu’en diminuant cette fraction solide. En forçant la déformation avec le pied, on diminue cette fraction solide, on augmente donc la fraction de « vide » (ou plutôt de liquide), créant un effet d’aspiration de l’eau qui assèche le sable avoisinant. On peut interpréter d’ailleurs les blocages de cette manière : lorsqu’une densité « maximale » (cette notion est très délicate à définir dans ce contexte) est atteinte, le milieu se rigidifie, et ne peut se déformer qu’en diminuant la densité, ce qui ne peut se faire que si certaines personnes sont prêtes à reculer un peu, au moins momentanément. Nous avons récemment rédigé quelque chose sur la comparaison entre modèles micro et macro (http://cvgmt.sns.it/papers/maurousan10/), mais c’est très loin de clore la question ...

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      • Modélisation de mouvements de foules

        le 19 janvier 2011 à 14:46, par Damien Gayet

        Merci pour cette réponse, qui m’aidera à devenir un atome non crochu des foules
        Damien

        Répondre à ce message
  • Modélisation de mouvements de foules

    le 17 janvier 2011 à 12:47, par Damien Gayet

    Merci Aurélien... j’aurais dû taper « anarchie » comme mot clé !

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  • Modélisation de mouvements de foules

    le 24 janvier à 15:09, par Francis Gaultier

    Bonjour,

    Merci pour cet article, j’aimerais cependant avoir quelques explications pour le passage de la suite (xn+1−xn)/h=−∇f(xn) à l’équation différentielle dx/dt=−∇f(x). (Je ne comprends pas l’apparition du dt, dx/dt serait donc une vitesse alors que (xn+1−xn)/h serait sans dimension ?)

    Merci d’avance,
    Francis Gaultier

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