Mouvements browniens fractionnaires et multifractionnaires

Le 15 octobre 2004  - Ecrit par  Serge Cohen Voir les commentaires (2)

L’étude de phénomènes irréguliers a pris une place très importante dans
beaucoup de domaine de la science : mécanique des fluides, traitement
de l’image, mathématiques financières. Les spécialistes de ces domaines
s’adressent souvent aux mathématiciens pour leur fournir des modèles
sur lesquels les calculs sont simples et qui soient proches des expériences.
On montrera dans cet article comment l’auto-similarité sert à générer des modèles efficaces. D’autre part l’utilisation de fonctions aléatoires est un outil pratique pour obtenir des exemples
génériques. A l’intersection de ces deux techniques se trouvent les
processus fractionnaires. Nous illustrerons notre propos grâce à deux
exemples célèbres : les mouvements browniens fractionnaires et
multifractionnaires. Pour conclure nous présenterons les méthodes statistiques
qui permettent aux praticiens de passer des données expérimentales aux
processus mathématiques.

De plus en plus d’applications exigent des mathématiciens
de comprendre des phénomènes irréguliers. On peut citer notamment
l’étude de flots turbulents où des tourbillons concentrent une grande
partie de l’énergie du système, l’évolution du cours d’une action en bourse
ou encore la surface très rugueuse d’un objet catalytique dans une réaction
chimique. Face à ces problèmes, les mathématiciens doivent souvent abandonner
des modèles fondés sur la linéarisation, ou plus généralement le calcul
différentiel classique. Dans un cadre déterministe, un des outils fondamentaux
est la notion de fractale popularisée par Mandelbrot. Dans une fractale
un motif
élémentaire est répété à chaque échelle par un procédé récurrent. Ce qui
facilite l’étude de ces objets est leur auto-similarité : si l’on prend une
loupe ou si on les regarde de très loin ils ont toujours la même structure.
L’auto-similarité, comme toutes les propriétés d’invariance a beaucoup de
vertus pour le mathématicien, c’est ce qui permet l’analyse de ces objets
souvent très complexes. Cependant on peut se demander pourquoi
l’auto-similarité génère de l’irrégularité. Tout d’abord il est facile
de construire des exemples où ce n’est pas le cas, si le motif initial
est constant par exemple. En dehors de ces cas particuliers inintéressants,
la moindre variation dans le motif initial se propage à toutes les
échelles pour produire un résultat très irrégulier.


L’AUTO-SIMILARITÉ ENTRAÎNE DE L’IRRÉGULARITÉ : COURBE
DE VON KOCH

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Figure 1. Courbe de Von Koch : état initial.
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Figure 2. Courbe de Von Koch : motif, étape 1.
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Figure 3. Courbe de Von Koch : étape 2.
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Figure 4. Courbe de Von Koch : étape 3.

Dans les figures ci-dessus on remarque que le motif triangulaire
qui est introduit à l’étape 1 rend de plus en plus irrégulière la
fonction initialement constante.

IRRÉGULARITÉ HÖLDÉRIENNE

Par ailleurs un vaste problème est de quantifier l’irrégularité
d’un phénomène de manière à la fois précise et efficace. Pour simplifier
cette présentation je restreindrai cette étude aux fonctions
qui partent d’un cube et à valeurs dans l’ensemble $ \mathbb R $ des réels.
$ f : [0,1]^d \to \mathbb R.$ Une manière de décrire à quel point une
fonction varie brutalement est de comparer ses variations à celles
d’une puissance fractionnaire de la norme euclidienne.
Par exemple si $\forall x, \; y \in [0,1]^d $ $ |f(x)-f(y)| \le C \|x-y\|^H $
pour $ C $ une constante finie, on dit que $ f $ est $H$-höldérienne. Comme
les fonctions puissances sont bornées sur le cube, il suffit de vérifier
l’inégalité pour $ x $ proche de $ y $ et l’on constate ainsi que si $ f $
est $ H$-höldérienne, elle est $H'$-höldérienne pour tout $ 0 Ce qui importe donc pour mesurer l’irrégularité d’une fonction c’est le
plus grand $ H $ telle que f est $H$-höldérienne. De plus cette notion
peut-être localisée en un point $ x $ et l’on définit alors l’exposant
de Hölder ponctuel $H(f,x)$ :

\[\begin{equation}H(f,x)= \sup_{H'} \left\{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon^{H'}}=0 \right \}\label{equation_1}\end{equation}\].

En fait on ne considère que des exposants $ H < 1 $ car pour $ H $
égal à $ 1 $ la fonction $ f $ est régulière et notamment toutes les
fonctions continûment dérivables sont $1$-höldériennes. Une autre manière
de quantifier l’irrégularité d’une fonction est de mesurer la dimension de
Hausdorff du graphe

[G_f ={ (x,f(x)) ~; 0 \le x \le 1 }).]

La dimension de Hausdorff que nous noterons $ \dim_{Ha} G_f $
est comprise entre $ 1 $ et $ 2.$ Si $ f $ est continûment dérivable $ \dim_{Ha} G_f = 1 $,et on retrouve le graphe d’une courbe lisse qui est
de dimension $ 1.$
En revanche dès que $ \dim_{Ha} G_f > 1 $ $ G_f $
est une vraie fractale.
Rappelons que si $ f $ est $ H$-höldérienne $ \dim_{Ha} G_f \le 2-H.$

AUTOSIMILARITÉ STATISTIQUE

Même si les fractales et l’auto-similarité sont des substituts efficaces
à la linéarité pour étudier l’irrégularité, il n’en demeure pas moins
que beaucoup des questions posées aux mathématiciens par les non
mathématiciens ne sont pas résolues. On peut citer par exemple le calcul
de la dimension de Hausdorff du graphe de la fonction de
Weierstrass qui n’est pas rigoureusement établi à ce jour.

De plus les expérimentateurs cherchent
souvent à disposer de modèles leur fournissant des ensembles de fonctions
génériques qu’ils pourront mieux comparer à leurs observations qu’un exemple
de fonction particulier. Toutes ces raisons expliquent sans doute la popularité
des modèles où l’irrégularité se conjugue avec l’aléa. On fait alors
appel au probabiliste pour construire des processus (fonctions
dépendant du hasard) tels que l’on puisse spécifier leur irrégularité
sans pour autant pouvoir prédire la forme particulière de la fonction
générée. Pour illustrer cette manière de penser, prenons l’exemple du
mouvement brownien fractionnaire $ (B_H (x,\omega))_{x \in [0,1]} $
introduit en 1939 par Kolmogorov, où $ \omega $ est l’aléa. [1]
Le mouvement brownien fractionnaire est un processus gaussien ce qui simplifie
considérablement la description de sa loi. En effet pour les processus
gaussiens $ G,$ il suffit de spécifier la moyenne des valeurs de la
fonction appelée espérance et notée $ \mathbb E G(x),$ et la dispersion
de ces valeurs par rapport à la moyenne mesurée par l’écart type
$ \left ( \mathbb E [G(x)-\mathbb E G(x)]^2 \right )^{1/2}$
pour caractériser complètement le modèle. Dans le cas du mouvement
brownien fractionnaire, le processus est d’espérance nulle, i.e.
pour tout $ x,\; $ $ \mathbb E B_H (x)= 0 $ et $ B_H(0)=0.$ En fait ce sont les
variations du processus qui nous intéressent. Ces dernières sont contrôlées
par la dispersion des accroissements

\[\begin{equation}(\mathbb E (B_H (x)-B_H (y))^2)^{1/2} = \| x- y \|^{H}.\label{equation_2}\end{equation}\]

On peut interpréter $\ref{equation_2}$ en disant que le
mouvement brownien fractionnaire est $H$-hölderien pour l’écart type. Si $ H=1/2 $
l’équation $\ref{equation_2}$ se simplifie,
on parle alors de mouvement brownien standard.
Ce cas particulier $ H=1/2 $ a beaucoup de propriétés supplémentaires
par rapport au cas général $ H \neq 1/2 $ mais comme notre propos est de faire
varier $ H $ nous n’en discuterons pas dans cet article. Il nous faut
maintenant expliquer
le lien entre le mouvement brownien fractionnaire et l’auto-similarité.
Bien que pour un aléa fixé $ \omega,$ les trajectoires $ x \to B_H (x,\omega) $
ne soient pas fractales, nous retrouvons la propriété d’auto-similarité en
moyenne

\[\begin{equation}\require{AMSmath} B_H(\epsilon x) \stackrel{\cal L}{=} \epsilon^H B_H(x).\label{equation_3}\end{equation}\]

L’égalité au sens des lois des processus notée $\stackrel{{\cal L}}{=} $
signifie que quand on fait des moyennes en prenant un grand
nombre de trajectoires à gauche et à droite du signe égal on
obtient des résultat identiques. En ce qui concerne l’irrégularité
des trajectoires du mouvement brownien fractionnaire, le résultat
est encore plus satisfaisant : en tout point $ x \in [0,1], $
en dehors d’un ensemble de trajectoires qui est de probabilité nulle,
l’exposant de Hölder ponctuel du mouvement brownien fractionnaire ne dépend pas
du hasard et est égal à H :

\[\begin{equation}H(B_H,x) = H \quad \mbox{p.s.}\label{equation_4}\end{equation}\]

De plus $ \dim_{Ha} G_{B_H} = 2 - H \quad \mbox{p.s.}$
Il faut noter que nous donnons ici dans un souci de simplification
une version particulièrement faible des résultats connus sur la régularité
des trajectoires du mouvement brownien fractionnaire.

SIMULATION DE TRAJECTOIRES DU MOUVEMENT BROWNIEN
FRACTIONNAIRE.

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Figure 1. Trajectoire pour H = 0,8.
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Figure 2. Trajectoire pour H = 0,6.

VERS LE MULTIFRACTIONNAIRE.

Le mouvement brownien fractionnaire est un
sujet d’étude en soi passionnant mais
du point de vue des applications à la modélisation des phénomènes rugueux
c’est un modèle trop pauvre. Expliquons cela à partir d’un exemple
d’école tiré du traitement de l’image. Dans ce domaine les trajectoires du
mouvement brownien fractionnaire ont été utilisées pour simuler le profil d’un
massif montagneux. Si l’on se reporte à l’encadré 2, la figure où $ H=0.8 $
semble convenir pour un massif plus ancien que celle pour
$ H=0.6.$ Plus
le massif est ancien, plus les profils des montagnes sont réguliers. Si on
raffine cette démarche on peut se souvenir que plus
la roche du sol est dure, plus le massif est escarpé et plus grande sera
l’irrégularité de la trajectoire. Dans ce cas on autorise le paramètre
$ H $ à dépendre de la position du point $ x.$ En fait la fonction
$ x \to H(x) $ est souvent la fonction d’intérêt car elle traduit la
nature géologique du sous-sol.
Cependant quand on revient à la présentation
mathématique du mouvement brownien fractionnaire, on s’aperçoit que
$ H $ ne peut pas varier. Dans $\ref{equation_4}$l’exposant de
Hölder ponctuel est presque sûrement constant. Plus grave,
l’auto-similarité $\ref{equation_3}$ est une propriété d’invariance qui concerne
l’ensemble de la trajectoire. Des raisons plus profondes issues notamment de
l’étude de la turbulence ont conduit un certain nombre d’auteurs à proposer une
généralisation du mouvement brownien fractionnaire : le mouvement brownien
multifractionnaire. Pour construire le mouvement brownien multifractionnaire
nous devons revenir sur la représentation spectrale du mouvement brownien
fractionnaire. En tant que processus gaussien à accroissements stationnaires,
le mouvement brownien fractionnaire admet une densité spectrale $ f(\lambda) $
qui
représente d’un point de vue physique comment est répartie l’énergie dans les
différentes fréquences notées ici $\lambda.$ Or la propriété
d’auto-similarité $\ref{equation_3}$ se traduit sur la densité spectrale par une
propriété d’homogénéité, et la relation $\ref{equation_2}$ fixe le degré
d’homogénéité, on en déduit que
\[\begin{equation} f(\lambda) = \frac{C_H}{|\lambda|^{H+ 1/2}}\label{equation_5}, \end{equation}\]
et une représentation de type Fourier du mouvement brownien fractionnaire
\[\begin{equation} B_H(x)= \int_{\mathbb R}\frac{e^{-i x \lambda}-1} {C_H \|\lambda\|^{H+ 1/2}}\widehat {W}(d\lambda),\label{equation_6} \end{equation}\]
appelée représentation harmonisable du mouvement
brownien fractionnaire. Dans la formule $\ref{equation_6}$ ci-dessus on reconnaît
avec le terme $ e^{-i x \lambda} $ une transformation de Fourier
inverse où le $ - 1 $ du numérateur assure que $ B_H(0)=0.$ La
mesure $ \widehat {W} $ est un bruit blanc gaussien tel que si $ \phi(\lambda) $
est de carré intégrable
$ \int_{\mathbb R} \phi(\lambda) \widehat {W}(d\lambda) $
est une variable aléatoire gaussienne d’espérance nulle et de
variance $ \int_{\mathbb R} \phi^2(\lambda)d\lambda.$ Si on se donne
une fonction $ h : [0,1] \to ]0,1[ $ le processus défini par sa représentation
harmonisable :
\[\begin{equation} B_h(x)= \int_{\mathbb R}\frac{e^{-i x \lambda}-1} { \|\lambda\|^{h(x)+ 1/2}}\widehat {W}(d\lambda),\label{equation_7} \end{equation}\]
est appelé mouvement brownien multifractionnaire de fonction
multifractionnaire $ h.$ Ce processus est un bon modèle pour
notre exemple de profil de montagne où l’on souhaite prescrire
par avance la dureté de la roche au moyen de la fonction $ h.$
En effet on peut montrer sous des hypothèses de régularité minimale
sur $ h $ que l’exposant de Hölder ponctuel du mouvement brownien
multifractionnaire est presque sûrement égal à $ h(x) $ et que la dimension
de Hausdorff du graphe des trajectoires du mouvement brownien multifractionnaire
est \[ 2 - \inf \{ h(x),\; 0 \le x \le 1 \}.\] De plus
ce processus admet en chaque point $ x_0 $ un mouvement brownien
fractionnaire tangent au sens de la limite suivante :
\[\begin{equation} \require{AMSmath} \lim_{ \epsilon \rightarrow 0^+} \left (\frac{ B_h( x_0+\epsilon u )-X(x_0)} {\epsilon^{h(x_0)}}\right )_{u \in \mathbb R} \stackrel{{\cal L}}{=} a(x_0) \left ( B_H(u)\right )_{u \in \mathbb R^d}\label{equation_8} \end{equation}\]
où $ B_H $ est un brownien fractionnaire de paramètre $ H=h(x_0).$
Dans la limite $\ref{equation_8}$ on aurait un processus tangent au sens
classique du terme si on divisait par $ \epsilon.$ Cette dernière propriété
que le mouvement brownien multifractionnaire partage avec bien d’autres
modèles est appelée propriété d’auto-similarité locale asymptotique et
donne l’acronyme (lass) en anglais. C’est une généralisation
satisfaisante de la propriété d’auto-similarité $\ref{equation_3}$ .
En effet il est facile de vérifier qu’un mouvement brownien fractionnaire
est localement auto-similaire de fonction
multifractionnaire constante égale à son ordre. Dans le cas de $ B_H $
 :
[ B_H( x+\epsilon u )-B_H(x) \stackrel\cal L= B_H(\epsilon u )]

à cause de la propriété de stationnarité des accroissements, et
l’on constate en appliquant $\ref{equation_3}$ que pour un mouvement brownien fractionnaire le terme
[ \frac B_H( x+\epsilon u )-X(x)\epsilon^H]
est constant en loi. Cette vérification élémentaire explique le
dénominateur de $\ref{equation_8}$
ainsi que le rôle de localisation de l’asymptotique $ \epsilon \rightarrow 0^+.$

SIMULATION DE TRAJECTOIRES DU MOUVEMENT BROWNIEN
MULTIFRACTIONNAIRE.

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Figure 1. Trajectoire d’un brownien multifractionnaire.

Dans la figure, la fonction multifractionnaire $ x \to h(x) $
est périodique. Elle est petite pour $ x $ proche de $ 0,$ atteint un maximum
en $ 0.4 $ et en $ 0. 9.$ On peut suivre ses modulations sur l’irrégularité
de la trajectoire du mouvement brownien multifractionnaire associé.

STATISTIQUE : IDENTIFICATION DES MODÈLES

Nous avons insisté jusqu’à présent sur la construction
des modèles fractionnaires et sur les propriétés probabilistes
que l’on pouvait attendre de tels processus. Il est aussi
essentiel pour les praticiens de pouvoir calibrer leur modèle
au vue des données expérimentales. C’est typiquement un problème
d’identification statistique. Précisons les contraintes de cette
identification. Dans beaucoup de cas on ne dispose que d’un échantillon
fini des valeurs du processus que l’on suppose multifractionnaire, et
l’on aimerait en déduire une estimation de la fonction multifractionnaire
$ h $ qui apparaît dans $\ref{equation_8}$. En fait tous ces modèles
possèdent des trajectoires de régularité hölderienne, c’est
ce qui nous guidera pour bâtir des estimateurs. Dans cette optique
on remarque que l’introduction de variations de la forme :
\[\begin{equation} V_N = \sum_{p=0}^{N-1} \left ( X(\frac{p+1}{N})- X(\frac{p}{N})\right)^2,\label{equation_9} \end{equation}\]
pour quantifier
l’irrégularité des trajectoires de $ X $ est naturelle. Esquissons un
exemple d’utilisation de cette méthode
dans le cas le plus simple : l’identification de l’ordre d’un mouvement
brownien fractionnaire.
En se souvenant que les
trajectoires de nos processus sont à peu près $ C^H $ hölderiennes,
nous déduisons de $\ref{equation_9}$ que
\[\begin{equation} V_N \approx N^{1- 2 H }\left\{ \frac{1}{N} \sum_{p=0}^{N-2} C(\frac{p}{N},\omega)\right\}\label{equation_10} \end{equation}\]
où $ C(\frac{p}{N},\omega) $ représente la constante de Hölder
aléatoire associée à la trajectoire $ B_H $ au point $ \frac{p}{N}$.
Par ailleurs on voudrait appliquer une loi des
grands nombres aux termes entre accolades dans $\ref{equation_10}$. Or les
variables aléatoires $ C(\frac{p}{N},\omega) $ ne sont pas en
général indépendantes, et seule la propriété de
décorrélation asymptotique des accroissements du mouvement brownien
fractionnaire permet l’utilisation d’un principe du type « loi des
grands nombres ». La formule $\ref{equation_10}$ explique l’expression de
l’estimateur de $ H $
\[\begin{equation} \widehat{H}_{N} = \frac{1}{2} \left( \log_2 \frac{V_{N/2}}{V_{N}} +1 \right) \; .\label{equation_11} \end{equation}\]
Pour obtenir des majorations de
la vitesse de convergence des estimateurs en fonction du pas de
discrétisation $ \frac{1}{N} $ nous souhaiterions utiliser le
théorème de la limite
centrale portant sur le terme entre accolades de $\ref{equation_10}$.
Or il est connu que pour $ H > 3/4 $ il n’existe pas de théorème de la limite centrale pour
$ V_N .$
Nous trouvons à ce niveau de notre raisonnement ce qui impose
de choisir une variation quadratique généralisée :

\[ \widetilde{V}_N = \sum_{p=0}^{N-2} \left ( B_H(\frac{p+2}{N}) \right . \left . - 2 B_H(\frac{p+1}{N}) + B_H(\frac{p}{N})\right)^2 \]
et non une variation quadratique classique $V_N$.
On peut alors établir des vitesses de convergence en
$ N^{-1/2} $ pour l’estimateur :
\[\begin{equation} \widetilde{H}_{N} = \frac{1}{2} \left( \log_2 \frac{\widetilde{V}_{N/2}}{\widetilde{V}_{N}} +1 \right) \; .\label{equation_12} \end{equation}\]

Pour le modèle du brownien multifractionnaire,
il faut estimer la fonction multifractionnaire $ h $
qui définit le modèle dans $\ref{equation_7}$. Le principe
est de localiser la variation quadratique généralisée
$ \widetilde{V}_N $ au voisinage du point $ 0 \le x_0 \le 1 $
si l’on cherche à estimer $h(x_0).$ Définissons le voisinage de $ x_0 $ par
\[ {\cal V}_{\varepsilon,N}(x_0) = \left\{ p \in {\mathbb Z}, \; \left| \frac{p}{N} - x_0 \right| \leq \varepsilon \right\} \]
et posons comme variation quadratique généralisée :
\[ \textbf{V}_{\varepsilon,N}(x_0) = \sum_{p \in {\cal V}_{\varepsilon,N}(x_0)} \left( B_h(\frac{p+1}{N})\right . \left . - 2 B_h(\frac{p}{N}) + B_h(\frac{p-1}{N}) \right)^2 \; , \]
nous obtenons comme estimateur au point $ x_0 $ de $ h $
\[ h_{\varepsilon,N}(x_0) = \frac{1}{2} \left( \log_2 \frac{\textbf{V}_{\varepsilon,N/2}(x_0) }{\textbf{V}_{\varepsilon,N}(x_0)} +1 \right) \; .\]

PERSPECTIVES ET CONCLUSIONS

Nous avons voulu donner dans cet article un aperçu des problèmes
qui se posent aux mathématiciens dans le domaine de l’étude
des phénomènes irréguliers quand ils sont modélisés par des
processus fractionnaires. Les chercheurs essayent actuellement
d’étendre ces techniques à des processus pour lesquels la fonction
multifractionnaire elle même est très irrégulière. Il serait par ailleurs
souhaitable d’avoir des modèles où l’aléa n’est pas gaussien car l’on
sait que cette hypothèse n’est pas réaliste dans certains problèmes
d’images. Ces problèmes sont l’objet de recherche en cours.

RÉFÉRENCES


Benassi Albert, Serge Cohen et Jacques Istas
Processus fractionnaires : modèles et identification. Matapli 2003

Abry Patrice, Gonçalvès Paulo, et Jacques Lévy Véhel Lois d’échelles, fractales, et ondelettes ; vol 1 Hermès 2002

Abry Patrice Gonçalvès Paulo, et Jacques Lévy Véhel Lois d’échelles, fractales, et ondelettes ; vol 2 Hermès 2002

Post-scriptum :

Article proposé par Serge Cohen. A également participé à ce travail Jean-François Cœurjolly.

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Pour citer cet article :

Serge Cohen — «Mouvements browniens fractionnaires et multifractionnaires » — Images des Mathématiques, CNRS, 2004

Commentaire sur l'article

  • Mouvements browniens fractionnaires et multifractionnaires

    le 5 décembre 2009 à 00:26, par Pierre

    Bonjour
    je suis etudiant en statistiques et etudie les browniens fractionnaires dans le cadre d’un Travail de Fin d’Etude,

    si j’ais bien compris l’ecart type des delta y suit une loi d’echelle d’exposant (2-dinension de hausdorff) donc plus la dimension de hausdorff seraient grande plus les variations seraient petites ???

    Je croit que je n’ais pas bien compris la loi d’echelle de l’ecart type en fonction de la dimension du brownien fractionnaire
    quelqu’un peut il m’expliquer SVP

    Répondre à ce message
    • Mouvements browniens fractionnaires et multifractionnaires

      le 7 décembre 2009 à 17:18, par Pierre

      désole comme je ne suis pas un crack en math j’essaie de comprendre ça de manière intuitive mais finalement c’est plutôt logique .
      Je croit que j’ai compris.

      Répondre à ce message

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