Des systèmes dont les éléments s’organisent d’eux-mêmes

L’observation expérimentale semble ainsi confirmer que l’auto-organisation, loin d’être un « accident » rendu possible par l’émergence de la vie sur terre, est un phénomène extrêmement répandu et qui prévaut dans les conditions les plus diverses.

L’auto-organisation apparaît à des échelles si différentes que l’on peut se demander si le destin ultime de l’univers est bien une marche vers le chaos ultime, telle que l’a décrite Boltzmann et formalisée dans le concept d’entropie. L’opposition apparente entre les concepts d’auto-organisation et d’entropie a été discutée par le biologiste Jacques Monod, qui a consacré un chapitre de son essai Le Hasard et la Nécessité à une tentative de résolution de ce paradoxe [2] .

Les systèmes auto-organisés sont le siège de transitions de phases (un peu comme le gel transformant l’eau en glace). Lors d’une telle transition, le système se trouve dans un état appelé critique où il subit des variations importantes de ses propriétés en réponse à des variations très faibles des paramètres de son environnement (comme par exemple la température dans l’exemple du gel [3]). De nombreux systèmes vivants opèrent dans un état critique, celui-ci ayant semble-t-il été favorisé lors de l’évolution car conférant une meilleure capacité d’adaptation. De plus, dans les systèmes auto-organisés, l’état critique est un état extrêmement robuste qui apparaît pratiquement systématiquement, même si le système en est initialement éloigné. Par exemple, sur une autoroute en situation de trafic dense, les bouchons finissent presque toujours par apparaître. On dit que l’état critique est un état attracteur du système au sens que l’évolution du système aboutit toujours à l’état critique quelles que soient les conditions initiales. On parle de « criticalité auto-organisée », ou SOC pour « Self-Organized Criticality ».

Des enjeux importants

La modélisation des systèmes auto-organisés présente des enjeux environnementaux ou sociétaux importants. Par exemple, une meilleure connaissance de l’organisation sociale des sociétés animales permet de concevoir des politiques de protection de la biodiversité plus efficaces. La modélisation des foules humaines permet d’optimiser la sécurité et l’efficacité de la circulation des piétons dans les villes. Enfin, au niveau biologique la compréhension des mécanismes de migration collective des cellules contribue aux progrès de la médecine régénérative. D’autres enjeux, également considérables, se déclinent en termes technologiques à travers les approches bio-mimétiques en robotique ou en architecture. Enfin, l’industrie du divertissement fait grand usage d’images virtuelles de foules ou de hordes d’animaux qui sont produites par des modèles mathématiques.

Différents niveaux, différents modèles

Les systèmes auto-organisés peuvent être modélisés à différents niveaux de détail. Les modèles les plus complets sont les modèles dit « Individu-Centré » qui opèrent au niveau microscopique. Ils consistent à décrire chaque agent individuellement au cours du temps. La figure ci-dessous présente une modélisation de l’exploration par les fourmis de leur environnement.

Modèle Individu-Centré de la formation des pistes de fourmis : les fourmis (en bleu) apparaissent au centre et partent explorer le carré. Elles déposent des molécules appelées phéromones (en
vert) qui s’évaporent au bout d’un certain temps. Lorsqu’une fourmi rencontre une piste, elle la suit avec une certaine probabilité.
Ce phénomène de renforcement fait émerger un réseau de chemins qui peut aussi se modifier à plus long terme.
Voir aussi cette vidéo.

Dans un autre exemple, on va décrire comment varient au cours du temps la position et la vitesse de chaque véhicule sur une autoroute, en décrivant comment chaque véhicule répond au comportement des autres véhicules dans son champ de perception. La complexité de ces modèles croît considérablement avec le nombre d’agents. Lorsque celui-ci est grand, il faut rechercher des modèles qui opèrent sur des quantités plus macroscopiques décrivant le comportement statistique moyen des agents.

Dans le cas du trafic routier, on introduira la densité moyenne de véhicules, c’est-à-dire leur nombre par unité de longueur (typiquement on choisit une section d’autoroute d’une centaine de mètres comme unité de longueur). On écrit alors une équation aux dérivées partielles (c’est-à-dire faisant intervenir les variations temporelles et spatiales) pour cette densité.

L’équation de Lighthill-Whitham-Richards

C’est la plus simple de ces équations :
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\rho \, u(\rho)) = 0, \]
où $\rho$ est la densité de véhicules, qui dépend de la position $x$ sur l’autoroute et du temps $t$. L’équation elle-même exprime un principe physique évident à savoir la conservation du nombre de véhicules : quel que soit le tronçon considéré, le nombre de véhicules à tout instant sur ce tronçon est le résultat du bilan entre le nombre de véhicules qui y sont entrés et de ceux qui en sont sortis.

La fonction $u(\rho)$ qui détermine comment varie la vitesse moyenne des véhicules en fonction de la densité est une donnée mesurée expérimentalement, appelée le « diagramme fondamental ». Celui-ci dépend des conditions environnementales, comme les conditions météorologiques, ou même le comportement des conducteurs. Ce terme décrit l’aspect concret, spécifique du phénomène.

Macroscopique, microscopique

Il est indispensable d’établir un lien rigoureux entre ces modèles, dits « continus » et leurs pendants microscopiques. Pour ce faire, on voit les modèles continus comme des « moyennes » obtenues par passage à gros grains (ou « coarsening ») à partir des modèles microscopiques.

En général, cette procédure de coarsening est difficile et en fait ne peut être menée à bien sans hypothèse supplémentaire sur le système (appelée « hypothèse de fermeture »). Dans l’exemple du trafic routier, c’est le diagramme fondamental qui joue ce rôle.

En effet, si l’on essaie d’obtenir une équation sur la densité à partir du modèle Individu-Centré, on est confronté à l’apparition d’une nouvelle quantité que l’on ne sait pas calculer a priori : la vitesse moyenne des véhicules. On peut tenter de trouver une nouvelle équation pour déterminer cette vitesse moyenne à partir du modèle Individu-Centré. Mais la nature étant mal faite, une nouvelle quantité apparaît dans nos équations ! (Il s’agit de la variance de la vitesse, mesurant les fluctuations de celle-ci). On est donc confronté à un problème similaire au précédent et le problème paraît sans fin.

Pour obtenir un modèle macroscopique fermé, c’est-à-dire ne dépendant pas de quantités extérieures ou indéterminées, il faut compléter les équations déduites du modèle microscopique par une équation phénoménologique (définie à partir des données d’expérience). C’est l’hypothèse de fermeture annoncée plus haut.

Réductionnisme et approche descendante

La manière dont les agents interagissent au niveau microscopique a une influence considérable sur leur comportement macroscopique. Le mouvement des véhicules sur une autoroute ressemble ainsi à un fluide aux propriétés très différentes de celles d’un fluide ordinaire tel que l’eau. C’est également grâce à ces différences que l’on peut « sonder » les propriétés microscopiques des agents d’un système en observant ses structures à grande échelle. Toutefois, deux systèmes dont les lois d’interaction microscopique sont proches produiront des structures macroscopiques similaires. Le passage du microscopique au macroscopique implique une réduction de l’information.

Le lien entre les deux niveaux peut également être utilisé pour préciser le comportement microscopique. En effet, celui-ci est souvent mal connu : par exemple, les lois d’interaction entre les véhicules sur une autoroute sont très difficiles à déchiffrer. En revanche, il est relativement facile d’observer les structures à grande échelle du système (formation de bouchons, propagation des ralentissements, etc.). On peut ainsi ajuster (on dit « calibrer ») les paramètres du modèle continu puis remonter aux lois d’interaction individuelle.

Cette approche « descendante » (utilisant les grandes échelles pour mieux connaître les règles de comportement individuel) est une mini-révolution dans la méthodologie scientifique qui traditionnellement adopte l’approche ascendante (de l’individuel au système) encore appelée approche réductionniste.

De la théorie des gaz aux bancs de poissons

Les systèmes physiques classiques sont bien connus et il existe maintenant des théories rigoureuses sur les hypothèses de fermeture qui doivent être adoptées. À cet effet, un appareil mathématique considérable a été développé pour donner un cadre rigoureux à ces approches depuis que Hilbert a posé le problème en 1900 (il s’agit du sixième problème de Hilbert [4]). Cette théorie a connu des développements impressionnants, en particulier en France où deux mathématiciens travaillant dans ce domaine, P. L. Lions et C. Villani, ont reçu la médaille Fields. Pour les systèmes auto-organisés au contraire, on connaît mal les hypothèses de fermeture à formuler. C’est pour répondre à cette question que des mathématiciens sont à l’œuvre.

Illustrons ces difficultés sur l’exemple des modèles d’alignement modélisant la coordination des poissons au sein d’un même banc. On imagine que les poissons se déplacent à vitesse constante et uniforme (c’est-à-dire la même pour tous les individus constituant un banc). Pour décrire la cohésion du banc, on suppose que chaque poisson cherche à nager dans la direction moyenne de ses voisins (c’est-à-dire des individus se trouvant à une distance de lui inférieure à une distance donnée). Cette dynamique d’alignement est perturbée par un terme aléatoire, modélisant par exemple l’envie que peut avoir l’individu de se détacher du banc pour explorer un autre environnement. Au contraire des particules inertes, comme les molécules dans un gaz, les poissons sont capables de créer leur propre mouvement (on dit qu’ils sont « auto-propulsés »). En effet, le métabolisme de leur organisme leur permet de transformer en mouvement leur énergie chimique (provenant de leur alimentation). Lorsque des particules inertes interagissent, leur interaction préserve des quantités physiques comme l’impulsion ou l’énergie. C’est la conservation de l’impulsion qui est utilisée dans un billard pour transférer le mouvement d’une boule à l’autre. De même, c’est la conservation de l’énergie qui contrôle le mouvement oscillatoire d’une balançoire [5]. Mais lorsque les poissons interagissent, il n’y a pas de conservation de l’impulsion ou de l’énergie. Or les modèles macroscopiques classiques, ceux obtenus pour les gaz par exemple, reposent de manière fondamentale sur ces lois de conservation.

Dès lors, peut-on généraliser aux bancs de poissons les méthodes conduisant aux modèles macroscopiques classiques ? Nous avons montré dans l’article [6] qu’en fait, les interactions au sein des bancs de poissons satisfont des relations de conservation « affaiblies » (on dit « généralisées ») qui permettent effectivement de construire des modèles macroscopiques. La signification physique de ces conservations généralisées est encore mal comprise. Les modèles macroscopiques obtenus, tout en ressemblant fortement aux modèles classiques des gaz, ont des propriétés singulières qui en font des objets totalement nouveaux d’un point de vue mathématique. La théorie qui permettrait de les appréhender n’existe pas encore.

Transitions de phases

D’autres difficultés présentées par les systèmes auto-organisés sont liées à la présence quasi-systématique de transitions de phases. Les modèles macroscopiques sont très fortement dépendants de la phase considérée. Lorsqu’une transition entre deux phases apparaît cela impose de changer de modèle. Or il convient de gérer la transition entre les modèles de manière à ce que l’effet de la transition de phase soit correctement décrit. C’est particulièrement important lorsque la transition de phase conduit à une ségrégation spatiale : une région étant dans une phase et l’autre dans l’autre. Alors la transition de phase a lieu le long d’une interface qui peut elle-même évoluer au cours du temps. Une analogie en est fournie par le glaçon en train de fondre dans l’eau : l’interface entre l’eau liquide et la glace évolue jusqu’à ce que le glaçon finisse par disparaître. Cette transition est très complexe et constitue pour l’essentiel un problème encore non-résolu.

L’une des transitions de phase les plus frappantes des systèmes auto-organisés est la transition avec brisure de symétrie au cours de laquelle les agents passent d’un mouvement désordonné, chacun se déplaçant dans une direction aléatoire, à un mouvement collectif où ils se déplacent tous dans la même direction. Dans l’article [7], nous avons pu élucider la manière suivant laquelle se produit cette transition de phase. Ces travaux ont connu une application dans un contexte assez surprenant, pour concevoir des tests automatisés de fertilité pour des échantillons de sperme ovin (un brevet a même été déposé [8]). En effet, le mouvement collectif du milliard de spermatozoïdes par millilitre que contient le sperme ovin met le plasma séminal en mouvement. Pour mesurer objectivement ce mouvement collectif, l’idée est venue de confiner le sperme dans un anneau. Après quelques secondes de mouvement désordonné, les spermatozoïdes se mettent à choisir un sens de rotation donné, offrant un exemple d’une transition de phase « avec brisure de symétrie ». La mesure de la vitesse de rotation, très facile, permet de quantifier l’importance de ce mouvement collectif, qui est corrélé à la fertilité de l’échantillon (plus le mouvement collectif est important, plus les chances que l’échantillon de sperme soit fertile sont élevées).

Systèmes auto-organisés : défis pour les mathématiciens

Il existe bien d’autres défis passionnants posés par les systèmes auto-organisés et tout mathématicien peut y puiser une source de problèmes fascinants en fonction de sa spécialité, que ce soit la géométrie, la topologie, les systèmes dynamiques, etc. La dynamique des systèmes auto-organisés pose de nouvelles questions qui nécessitent l’invention de nouveaux concepts mathématiques. En retour ceux-ci permettront d’avancer sur les questions centrales des mathématiques en élargissant le champ de la pensée à des situations et des modèles nouveaux qui mettent à l’épreuve les concepts classiques.