¡No son matemáticas !

Le 18 janvier 2009  - Ecrit par  Pierre Colmez
Le 19 février 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : C’est pas des maths ! Voir les commentaires
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A fuerza de explicar a mis amigos (no matemáticos) que aquello con lo que se torturaba a sus niños en la escuela no eran matemáticas [1] , terminé por hacer que me plantearan la pregunta : ’’Bueno, de acuerdo, pero ¿qué son las matemáticas ?’’. Esto me tomó un poco desprevenido : instintivamente, sentía la diferencia entre ’’matemáticas’’ y ’’no matemáticas’’, pero nunca había buscado comprender dónde estaba realmente (la respuesta que di esa noche era del tipo [2] : ’’las matemáticas son lo que tiene aspecto de ser matemáticas y no son `no matemáticas´’’).

Ahondando un poco, descubrí que yo llamaba ’’no matemáticas’’ a todo lo que evocaba el aburrimiento de una tarea rutinaria y sin significado, y ’’matemáticas’’ a lo que era susceptible de provocar un cierto placer instantáneo (el efecto Aha ! de Martin Gardner). Este placer se manifiesta en circunstancias muy variadas [3] :
cuando uno descubre (o cuando a usted le muestran) un truco que permite llevar un cálculo a buen término, o una construcción geométrica que entrega la solución a un problema, cuando uno comprende las sutilezas de una definición, cuando escucha una demostración y los diferentes pedazos que la componen convergen de repente para conducir al resultado, cuando uno descubre un vínculo entre dos problemáticas que a priori parece no existir, etc. Me parece que ese placer debe corresponder a un cierto proceso químico en el cerebro cuyo objetivo es facilitar la memorización del descubrimiento o el deseo de aprender. Por el contrario, todo lo que es aplicación paso a paso de un algoritmo no conlleva más que aburrimiento profundo y no deja ninguna huella en la memoria (por suerte, el cerebro no guarda trazas de todas las multiplicaciones, divisiones, ecuaciones de segundo grado, sistemas lineales... ¡que tenemos que tratar en el curso de una existencia !).

En resumen, son ’’matemáticas’’ cuando aparece sentido ; son ’’no-matemáticas’’ cuando uno hace un cálculo sin otro fin que hacer funcionar un algoritmo ; son ’’matemáticas’’ cuando uno debe recurrir a su libre arbitrio ; son ’’no-matemáticas’’ cuando uno se conforma con obedecer órdenes ; son ’’matemáticas’’ cuando uno parte de definiciones precisas y robustas de las cuales deduce recetas utilizables ; son ’’no-matemáticas’’ cuando uno se contenta con utilizar ciegamente esas recetas ; son ’’matemáticas’’ cuando uno identifica un concepto y le da un nombre ; son ’’no-matemáticas’’ cuando uno apila definiciones sin justificación.

Incluso como matemático, uno es llevado a hacer ’’no-matemáticas’’ para comprobar que lo que uno entrevé no es una ilusión óptica, pero nunca las hace a ciegas. Yo enuncié una conjetura hace algunos años y para comprobarla en un caso en particular tenía que calcular una integral. El resultado no dejaba ninguna duda : mi conjetura era falsa. Como era especialmente estética y me apetecía mucho, rehice el cálculo y encontré un error. Después de corregir este error mi conjetura era igualmente falsa... Luego de repetir cuatro veces el proceso anterior, mi conjetura había retomado vida y yo ya no encontraba ningún error de cálculo. Estaba muy contento, pero era solo como el alivio del excursionista llegando finalmente al refugio, guiado por su destello luego de una cierta cantidad de tropiezos en la oscuridad ; no era la alegría pura de quien descubre un paisaje grandioso después de atravesar por un paso o salir de una curva.

Notes

[1Se empieza la enseñanza de las ’’no matemáticas’’ muy tempranamente. Me acuerdo de mi hija al regreso de la escuela una tarde, diciéndome :

’’Papá, tengo dos $0$ seguidos por mis multiplicaciones y no comprendo qué hice mal.’’

Miré su cuaderno y comprobé que los resultados que ella había obtenido estaban efectivamente incorrectos. Me llamó la atención entonces el resultado de su multiplicación por $5$, pues todas las cifras eran $0$ o $5$, y me di cuenta de que ella empezaba sumando la reserva antes de hacer la multiplicación... Esto me hace pensar que los niños no retienen ningún saber -más que el puramente mecánico- del uso del algoritmo que fue desarrollado hace mucho tiempo por los expertos (contadores). Aunque los lejanos descendientes de esos expertos lo hayan relegado al olvido en beneficio de un algoritmo netamente más eficaz (el uso de una calculadora), se podría tal vez considerar el uso de un algoritmo menos rápido pero más formador (en el sentido de la formación y no de formateo...).

[2Un físico explicaría después qué es más o menos lo que se tiene derecho a esperar de un matemático.

[3Para dar un ejemplo : yo pasé un mes en el Instituto Tata de Bombay hace no mucho tiempo, y para ir por la ciudad el taxi era un medio de transporte extremadamente práctico. Los taxis en Bombay están equipados con un contador (lograr que sea utilizado exige un poco de discusión...), pero hay que multiplicar el valor por 13,5 para obtener el precio final a pagar (saberlo facilita la discusión final). Después de algunos días en los cuales en vano traté de multiplicar mentalmente por 13,5 usando el algoritmo aprendido en al escuela, al final me di cuenta que 13,5 = 15 -1,5, y que por lo tanto se podía resolver multiplicando por 10, agregando la mitad y quitándole un décimo al resultado. Me acuerdo haber sentido un pequeño placer con este descubrimiento y de haber hecho, por lo tanto, ’’matemáticas’’.
En resumen, calcular
\[(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{2})\times 10\]
y encontrar $13,5$ ’’no son matemáticas’’ ; pero darse cuenta de que
\[13,5=(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{2})\times 10\]
sí ’’son matemáticas’’ (por cierto, no muy sofisticadas).

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «¡No son matemáticas !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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