Nombres et représentations

Les décimales de sont-elles aléatoires ?

Piste rouge Le 8 août 2011  - Ecrit par  Valérie Berthé Voir les commentaires (2)

La question de la représentation des nombres (réels, entiers, complexes...) est centrale, que ce soit en mathématiques ou en informatique. Nous commençons par expliquer deux systèmes classiques : le développement dans une base entière et les fractions continues. Nous verrons comment ils se formulent en termes dynamiques et dans quels sens on peut se demander si les représentations obtenues sont « aléatoires ». Nous évoquerons les réponses obtenues par les mathématiciens depuis le 19ème siècle jusqu’à tout récemment... et les questions qu’ils continuent à se poser.

Parmi les systèmes de représentation les plus utilisés, on trouve la numération en base entière et le développement en fraction continue.

Développement en base dix

L’exemple le plus classique de numération en base entière est celui de la numération en base dix. Un quart s’écrit $0,25$ car $1/4=2/10+5/100$ tandis que $1,141$ représente $1+\frac{1}{10}+\frac{4}{10^2}+\frac{1}{10^3}$. L’informaticien se demande déjà si ces représentations sont commodes pour faire faire les opérations arithmétiques à un processeur. Pour le mathématicien, ces développements finis sont ennuyeux ! Heureusement, il y a des nombres comme $1/11$, pour lequel les choses sont un peu plus compliquées ; on a besoin d’une suite infinie de chiffres :

$ \frac1{11} = 0,0909090909090909090909090909090909\dots $

Plus on a de chiffres, plus on est près de $1/11$ (bien qu’on n’y soit jamais tout à fait).

Erreur

L’erreur se lit sur le développement. En effet, si l’on ne considère que les $2m$ premiers chiffres, l’erreur correspond au reste du développement, qui n’est autre que celui de $1/11$ décalé. Plus précisément, si l’on ne retient que les $n=2m$ premiers chiffres du développement décimal de $1/11$, on peut calculer l’erreur commise : $1/11-9\times 10^{-2}\times \frac{1-10^{-n}}{1-10^{-2}}=\frac{1}{11} \times 10^{-n} < 10^{-n-1}$. L’erreur devient vite très petite mais n’est jamais nulle.

Le développement de $1/11$ ci-dessus est infini mais très simple : on répète indéfiniment le même bloc de deux chiffres $09$. D’autres nombres ont un développement d’aspect beaucoup plus compliqué, par exemple pi s’écrit
(voir aussi l’article de F. Gramain Les décimales de pi)

$ \pi = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944\dots $

Nous verrons bientôt quelles questions le mathématicien peut se poser au sujet de cette suite de chiffres.

Développement en fraction continue

Dans le cas des fractions continues,
on représente un nombre réel $x$ positif
sous la forme suivante \[x= a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\cdots}}}}\]
On utilise également la notation $x=[a_0 ; a_1,\cdots,a_n, \cdots]$. Les nombres $a_i$ sont appelés quotients partiels,
ce sont des nombres entiers qui peuvent prendre des valeurs arbitrairement grandes. Les quotients partiels jouent ici le rôle des chiffres dans le développement en base dix.
L’intérêt de ce type de représentation est qu’il permet de produire de très bonnes approximations rationnelles
de $x$ en tronquant cette écriture infinie. Pour plus de détails concernant la qualité ces approximations rationnelles, voir l’article de Wikipédia. Par exemple,
le début du développement de $e$ [1] est donné par

$e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}}}=[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \cdots] $

Approximations rationnelles

On a
$e=[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, \cdots] = 2.71828182\dots$
En tronquant cette écriture, on obtient comme approximations rationnelles :
$[2;1]=2+\cfrac{1}{1}=3,$ $[2;1,2]= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2}}=8/3= 2,6666\dots ,$
$[2;1,2,1]=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1}}}=11/4 =2,75 \ . $
Le $n$-ième terme de la suite des rationnels ainsi produite s’approche de plus en plus de la valeur de $e$.

Pour des exemples de développements en fractions continues de constantes classiques, voir l’article de A. Broise Calendriers et fractions continues.
Ainsi,

$\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 12, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, \cdots].$

Les approximations correspondantes de $\pi=3,14159265\dots$ sont les fractions bien connues :
$[3;7]=3+\frac17=22/7=3,142857\dots$,

$[3;7,15]=3+\frac1{7+\frac1{15}}=333/106=3,141509\dots$,

$[3;7,15,1]=3+\frac1{7+\frac1{15+\frac11}}=355/113=3,141593\dots$

Le développement en fraction continue de $\sqrt 2 $ est égal à

$1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}=[1;2,2,\cdots,2,\cdots].$

Nous montrons ci-dessous comment l’obtenir. Voir aussi l’article de B. Rittaud La porte d’harmonie.

Quelques variations

Il existe de nombreuses variations autour de ces systèmes de numération. On peut ainsi représenter
les nombres réels de l’intervalle $[0,1]$ [2] en base $q$, où $q$ est un nombre entier plus grand que $2$ de la manière suivante :

\[x= \frac{x_1}{q}+\frac{x_2}{q^2}+\frac{x_3}{q^3}+\dots \]
qu’on écrit souvent $\sum _{i \geq 1} x_i q^{-i}$ et
où les chiffres $x_i$ appartiennent à l’ensemble
$\{0,1\cdots,q-1\}$. Quand $q=10$ on retrouve la numération décimale, et on obtient la numération binaire quand $q=2$.
Par exemple, le début du développement binaire de $\sqrt 2$ est
\[1,0110101000001001111\dots\]
De même, la représentation en fraction continue
se décline sous des formes variées : les $1$ peuvent être remplacés par d’autres nombres entiers (positifs ou négatifs), les quotients partiels peuvent prendre des valeurs négatives etc. Les domaines d’application de ces divers types de représentation sont variés, et vont de la théorie des nombres (voir l’article de J. Rehmeyer Les travaux d’Elon Lindenstrauss) à la cryptographie, en passant par l’arithmétique des ordinateurs (voir l’article de V. Lefèvre, J.-M. Muller Erreurs en arithmétique des ordinateurs).

Comment obtenir les chiffres ?

L’une des premières questions qui se pose concernant ces systèmes de représentation est de savoir comment l’on obtient
les chiffres. Il existe pour chacun de ces deux types de développement des procédés algorithmiques simples de production
des chiffres. Ces procédés reposent sur l’usage des parties entières et fractionnaires, ainsi que des opérations arithmétiques élémentaires.

Parties entière et fractionnaire

La partie entière $[y]$ du nombre réel
$y$ désigne l’unique nombre entier $k$ tel que $ k \leq y < k+1$.
La partie fractionnaire $\{y\}$ du nombre réel $y$ désigne $y - [y]$. Elle satisfait
$0 \leq \{y\} < 1$. On a par exemple
\[[2,31]=2, \{2,31\}=0,31,\ \ [3,97]=3, \ \{3,97\}=\{0,9\}, \ [5]=5, \ \{5\}=0.\]

Prenons par exemple le cas de la numération en base $q$. Soit un nombre réel
$x \in [0,1[$. On suppose que la suite des chiffres $(x_i)_i$ de $x= \sum _{i \geq 1} x_i q^{-i}$ ne finit pas avec la suite constante $(q-1)\cdots (q-1)$ [3].
Pour produire le premier chiffre $x_1$ de $x= \sum _{i \geq 1} x_i q^{-i},$
on multiplie tout d’abord $x$ par $q$ :

\[qx=x_1+ \frac{x_2}{q} + \frac{x_3}{q^2} + \frac{x_4}{q^3} + \cdots =x_1+\sum _{i \geq 1} x_{i+1} q^{-i}.\]

On sépare alors dans cette quantité la partie entière
de la partie fractionnaire, ce qui donne

\[x_1=[qx], \quad \{qx\}= \sum _{i \geq 1} x_{i+1} q^{-i}.\]

On a ainsi obtenu un algorithme simple de production de ce premier chiffre qui se décrit comme une transformation de l’intervalle :

\[T_q\colon [0,1] \rightarrow [0,1], \ x \mapsto qx - [ qx]= \{qx\}.\]

Cette transformation permet plus généralement de produire le chiffre $x_i$ comme
$x_i=[ q T_{q}^{i-1}(x)],$ pour tout $ i \geq 1$.

Et pour les fractions continues ?

Considérons maintenant le cas du développement en fraction continue.
Soit $x \in [0,1]$. Le quotient partiel $a_0$ du développement de $x=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\cdots}}}}$ s’obtient comme
$a_0=[x]$. En effet, on a $[0; a_1,a_2, \cdots, a_n , \cdots] \in [0,1[.$
Il reste donc à savoir déterminer les quotients partiels d’un élément $x \in [0,1[$ (et dans ce cas $a_0=0$).
Comment obtenir le premier quotient partiel $a_1$ du développement de $x$ ?
On a
\[\frac{1}{x}= a_1 + \cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\cdots}}}}.\]
On en déduit que \[a_1= [ \frac{1}{x} ].\]
Si l’on pose $x_1= \{1/x\}$, on obtient
\[ \frac{1}{x}= a_1+x_1,\] et donc
\[x= \frac{1}{a_1+ x_1}.\]
On a $x_1 \in [0,1[$ et on peut réitérer l’opération sur $x_1$.
Ceci nous amène à introduire là encore une transformation de l’intervalle, appelée
application de Gauss, définie sur $[0,1]$ par
\[T_G\colon x \mapsto \{1/x\} \mbox{ pour } x \neq 0, \quad T_G(0)=0.\]
Cet algorithme produit bien les quotients partiels dans le développement en fraction continue (voir aussi Calendriers et fractions continues).
On vérifie ainsi que les quotients partiels $a_n$ sont obtenus en itérant la transformation $T_G$ :
\[a_n=[ \frac{1}{T^{n-1}x} ] \ \mbox{ pour } n \geq 1.\]

Développement de $\sqrt 2$

Nous pouvons ainsi retrouver de manière élémentaire le fait que le développement en fraction continue de $\sqrt 2 $ est égal à
\[1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}\ .\]
Posons $x= \sqrt{2}-1$. On a $1/x= \sqrt 2 +1=2,4142135\dots $,
$[1/x]=2$, et
$T_G(x)= 1/x -2= \sqrt{2}-1=x$. Le nombre $x$ est donc un point fixe de $T_G$.
On en déduit que tous les quotients partiels du développement de $\sqrt {2}-1$ sont égaux à $2$.

Hasard et normalité

Les questions qui se posent concernant ces systèmes de représentation sont diverses, et relèvent
de l’arithmétique (voir l’article de
Wikipédia) ou de la théorie (métrique) des nombres (voir l’article de Wikipédia), ou encore
de la théorie des langages formels (voir l’article de Wikipédia) ou de la théorie de la calculabilité (voir l’article de Wikipédia).

Une des questions les plus naturelles concerne le comportement du développement d’un nombre pris au hasard, et en particulier,
les propriétés statistiques de répartition des chiffres produits.
Dans un même ordre d’idées, quel est le comportement d’un nombre « remarquable », par exemple, une des constantes fondamentales classiques $\pi$, $e$, $\sqrt 2$, etc.
Considérons ainsi le développement décimal de $\pi$. La répartition des décimales de $\pi$ simule-t-elle le hasard ?
Peut-on y trouver toute suite finie de nombres ? En particulier, peut-on trouver dans $\pi$ la suite des dates de naissance des reines de France ?
On peut d’ailleurs consulter à ce sujet le site The Pi-search site ainsi que l’article Les décimales de pi.

Quel est le comportement du développement décimal d’un nombre tiré au hasard ?
On peut s’attendre à ce que les chiffres qui apparaissent dans son développement décimal aient tous la même fréquence, à savoir
$1/10$. On peut de plus grouper les chiffres pour considérer les mots qui apparaissent. Un mot est ainsi une suite de chiffres qui apparaissent de manière consécutive. Par exemple, $15926535$ est un mot fini qui apparaît dans le développement décimal de $\pi$, de même, $0909$
apparaît dans celui de $1/11$, alors que $99009$ n’y apparaît pas.
On s’attend donc également à ce que chaque
mot fini composé de $k$ chiffres compris entre 0 et 9
apparaisse avec la fréquence $(1/10)^k$ dans un nombre tiré au hasard. Un nombre dont le développement décimal satisfait cette propriété (les mots de même longueur apparaissant avec la même fréquence) est appelé nombre normal (en base dix).
Le nombre de Champernowne est obtenu en concaténant les écritures en base dix des nombres entiers. Le début de son développement décimal est
\[0, 1 2 34567891011121314151617181920\dots\]
Ce nombre est un nombre normal en base dix.
On obtient de même un nombre normal (en base dix) en concaténant les écritures en base dix des nombres premiers. Le début de son développement décimal est
\[0,235711131719232931\dots \]

Nombre absolument normal

Un nombre est dit normal en base $q$ si son développement en base $q$ est tel que les mots de même longueur apparaissent avec la même fréquence. Un nombre normal dans toute base $q$ est appelé absolument normal.
E. Borel a introduit cette notion en 1909, et a montré que cette propriété caractérisait bien le comportement
typique d’un nombre. En effet, il a montré que presque tous les nombres réels sont absolument normaux (c’est-à-dire que
l’ensemble des nombres réels non normaux est un ensemble de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue). Il a fallu alors attendre 1816 pour que
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Prenons par exemple le cas de la numération en base $q$.lumene emf="-)ne d e $q$.ypoint fixe de $T_G$.
On en déduit que tous les quotients partir 2 e uexemple le caq class7np(rm)point fixe de $T_G$.
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    de la théorie des langageE_(class=)article de 3]4> on prendr multipLag>B. Adamczewski,éY. Bugeaud,ler'>Lag> 'i>Oclthécnbsp;: /y ofrilgebde cs1,1bloc{I. Exltis="hdls" class='spip_out' }}$br'pgn \cetts,br clAn.wih ofrMèr. 165 (2007), 547—565li78syuver le 'autob5obr' /dia) joue un rôle presque absp;(...)' ih5 id='nh3'>3]5> on prendr multipLag>G17ooch1ler'>Lag>,iva'i>Vergleich matGlopuigkei_in'> Dezautobruch u quKeqt bruchdei>,aAbr. Mèr. Semp eriv. Hamburgduit que tous les quoti27h4(#964), 142—144li78syuver le 'autob6obr' /dia) joue un rôle presque absp;(...)' ih6 id='nh3'>3]6> on prendr multipPréels not/>}=0,efaete&nbse 1816 pour que
    (eoni atme').
    3]7> on prendr multip7"u9
    ollemelMI3]8> on prendr multipr chiffre odes ftcl (en but' rel cet tout /i> (en e-des.h$f(X)b eft las821-sRs=dr'blolynô _i qrodes ftcldform \ièrbb{F}_ }obr' /> mo (en but' rel cet tout /i> (en e-des.}}\, cet>ft las
    2]9> on prendr multipaistobr' />t qurac{1}{2+\as les nombret>r' /dia) joue un rôle presque absp;(...)' ih10)' id='nh2'>2]10> on prendr multipais etc. Leeo$f$-des.}F$ouaclaout' rel cet tout /\sum _{.i78syuver le 'autob=1obr' /dia) joue un rôle presque absp;(...)' ih11 id='nh3'>3]11> on prendr multipLag>G17Chbretol, T. Kamad,hM.prendrMe Lag>,i'i>Ste <0,1lglasres d,as $a_0=0$).
    3]14> on prendr multipe que celuie s par exemple le cas$x_{n}=0$ietn \quai2_{2n}x_{2n+1}=0nb,i efie t$x_{n}=1}obr' /> ai2_{2n}x_{2n+1}=10.$i78syuver le 'autob15obr' /dia) joue un rôle presque absp;(...)' ih=5 id='nh3'>3]15> on prendr multip' /> ollemimia elgi>subts]tuf="he>. mass='autnt en basdeipli78syuver le 'autob16obr' /dia) joue un rôle presque absp;(...)' ih=6 id='nh3'>3]16> on prendr multipOn r ile'l fres prode.eobr' par#np$ elsubts]tuf="he>. mass='autnt en basb(obit{ui_i rticle> air tobr> qupuisi_i rprejeapsutobresp;: $1olphab $r$xpelCale pi78syuver le 'autob17obr' /dia) joue un rôle presque absp;(...)' ih17 id='nh3'>3]17> on prendr multipA17Cobham,;OclthéH\cf909$s-Stearnsapreblemcsorri d='nh ofrtag t On en déduit que \[i-n}nd, IEEEbr cfeémde Resord ofr1968 Nbr'hlAn.ual Syé aiumtobrt On en déduit que \[Swit-n}ngaand Ap$3]18> on prendr multipJ. H17ooxtonutA17J. van matPoes dnu1ls" class='spip_out' href="htcle celendh ofrnp$2]19> on prendr multip).oppdéfinimentnp(rsorcveloppe>. mass='autnt en bas178syuver le 'autob20)>r' /dia) joue un rôle presque absp;(...)' ih20)' id='nh2'>2]20> on prendr multipr/x\} uoutobeitp(n,x)$mdopt s aeloppemenpral
    . mass='aut$n$ $\pi$, de même, 217;y4 claraît pas.
    3]21> on prendr multipBs sosûrluie ec{1}{a_1+ tublanbsut' relhypoo='squeamentalerementsr' /> ,21nbsp;: $1ps chiffdevon peut ut> iledls" class='spip_out' els ac{1}{a_1+ {-n-1}bs ainsiicle de F. Gramaiblocs_cn8217;y iquess d& hre-n}}{1-10$\pi909ots $q=10$ on retrouve l(ieups333/1 nombre n;a$imé$9$i$, de même pi78syuver >>>>>tver >< >>>>>t le dévelo clak-share" 'au"Caleia>>>>>>>>th2>'autobr' #Caleia>>>>>>>>>tuljoue un rhare">>>>>>>>>>>>>>tli>>>>>>>>>>>>>>>>>>tautobr' me> to:?subath=$q$ de limia ea href="hs2nateurs (v"lipkpartiact"pautobr"Envoy deip> on >>>>>>>>>>>>>>>>t/li>>>>>>>>>>>>>>tli>>>>>>>>>>>>>>>>>>tautobr' /> dse lwww.facebook.do/rharer/rharer.php?u=/> d%3A%2F%2Fimia ea href="hs2nateurs (v"lipkpfacebook"pautobr"Paleiadeip> on >>>>>>>>>>>>>>>>t/li>>>>>>>>>>>>>>tli>>>>>>>>>>>>>>>>>>tautobr' /> dse ltwit{ur.do/rhare?url=/> d%3A%2F%2Fimia ea href="hs2nate&l://=$q$ formela href="hs++-+%40Imiadeip> on >>>>>>>>>>>>>>>>t/li>>>>>>>>>>>>>>tli>>>>>>>>>>>>>>>>>>tautobr' /> dse ltobr.google.do/rhare?url=/> d%3A%2F%2Fimia ea href="hs2nateurs (v"lipkpgoogletobr"pautobr"Paleiadeip> on >>>>>>>>>>>>>>>>t/li>>>>>>>>>>>>>>>>>>>t le s (v"'spie">>>>>>>>>>>>>>th3>>>>>>>>>>>>>tp>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>VallMI>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> — «$q$ >>>>>>>>>>>>u le s (v"cstinati"n blocs_inv"sible blocs_slide'>

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    Échohtdr' (lrecherch=> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -O3jet-nu-mois-inateu>O3jetutu mois> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -Caf=-dtsièrs-inateu>Caf> qmes ièr.> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -L=s-lasathémao-nu-talmer'>shlnateu>Lavo csathémaoutu talmer'>s> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -Hretoon -dtsMèreet les s-inateu>Hretoon adus ière et lsi s> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -Imia on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -R dorc s-oedagogles s-inateu>Redorc s a.oragogles sclass='i«ons aifract/ air moi17;yoi1ons ain#187;> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -Concn no-inateu>Concn no> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -Mèreet les s-dmla-Planete-Tors=-48-inateu>Mère et lsi s dr' (lplanète Tors= > on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -L=m odcast-Henri-Phreca>shlnateu>La odcast Henri Phreca>e uvon 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -ImiaImia/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -ImiaImia on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' -Courb=ur-dtsy he no-inateu>Courb=urmenprmhe no> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>t/ul>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>t/nav&>< >> 1lis>< >> lirs (v"expx.'autobr' #uesuu>Doss='audea> >>>>>>>>tuljoue un oolumfs-3">>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Ap$Ap$ on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Benoit-Mnd=lbrot- qais-h3jets-tformals-+inateu>Benoît Mnd=lbrotlmhiffreh3jets tformals> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Bibliorees s- qperiodles f-+inateu>Bibliorèq>Calmhiprvaiodles f ière et lsi s> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Carnets-du-

    t=-dmla-MMIq+2nateu>Carnetstdr' p>t= dr' (lMMI> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Carttgraphieq+2nateu>Carttgraphie> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Faut-il- ainsqpeursdtsièrs-+2nateu>Faut-ils ainsipeuradus ièr. financfrac{aimal deon 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Henri-Phreca>sh73-+2nateu>Henri Phreca>e uvon 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Jaces f-Hadamard-+2nateu>Jaces f Hadamarduvon 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Jean-le-Rond-D-Alembert-+2nateu>Jeaniff Rond D’Alembert uvon 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Joseph-Louis-L$eurngeq+2nateu>Joseph-Louis L$eurngeuvon 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Ltsutass='- labr'au-jumeauxq+2nateu>Laclasathémat
    >>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-L- dmer'-ièreet les -+lnateu>La d par/ère et lsi > on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Lts5-min>t=s-L cLe d-+lnateu>Las 5 min>t=sen cLe d> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Ltsfigmao-safs-parol f-+inateu>Las figmao safs parol f> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Ltsbr'psviewo-nu-CIRM-+inateu>Las br'psviewoutu CIRM> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Mèreet les s-dmla-planete-Tors=-69-+inateu>Mère et lsi s dr' (lplanète Tors= (2013)> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-ièreet les s- qarts-plastles f-+inateu>Mère et lsi s Dae on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Mèreet les s- qIndur'>ieq+2nateu>Mère et lsi s DaIndur'>ie> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Mèreet les s- qlangiaMère et lsi s Dalangia on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Mèreet les s- qlit{ures pr-+inateu>Mère et lsi s Dalit{rvaefure> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Mikhail-Gromov-geometpr-+inateu>Mikhaïl Gromov, géomètre> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Nioolas-Bracbaki-+inateu>Nioolas Bracbaki> on 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Parlez-vt> sièrs-+2nateu>Parlez-vt> ièr.imal deon 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Recrnsatio-+inateu>Recrnsatiodeon 1lis>>>>>>>>/h4>>>>>tli>'autobr' +-Turnsolum-optcs_c-+inateu>Turnsolum optcs_c uvon 1lis>>>>>>>>/h4>t/ul> /h4>t/li>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>th3pQ i$/o hut> de l&>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>tnav&>>>>>>>>>>>>>/h4>>>>>>>>>tul>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' P ea href="h-dmImiaPrés href="h> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' Ntive-e$\pp lnateu>L'é$\pp > on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' Fonrmatitparai-nu-eite.nateu>Fonrmatitparaiutu eite> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' e on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' Se <0-Partetion chse <0-amis2nateu>Partetion c> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tli>tautobr' me> to:artiact@imiaConiact> on 1lis>/h4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>t/ul>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>t/nav&>>>>>>>>>>>>>/h4>tvli>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>tver >< >>>>>>>>tver >tvsermati >< >>>>
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