Nombres puissants au bac S

Le 23 juin 2018  - Ecrit par  Jérôme Germoni Voir les commentaires (16)

La dernière partie du sujet du bac S 2018 est très probablement inspirée d’une anecdote du célèbre mathématicien hongrois Paul Erdős.

Ce n’est pas tous les ans que l’on peut relier directement un sujet de baccalauréat à des recherches récentes. Un des exercices du bac S (spécialité math.) fait intervenir une notion étudiée par Paul Erdős et d’autres. L’Encyclopédie en ligne des suites d’entiers donne probablement la citation qui est à l’origine du sujet. Voyons d’abord qui sont les héros de l’exercice.

Nombres puissants

Un entier naturel $n$ est dit puissant (powerful ou squarefull en anglais) si, pour tout diviseur premier $p$ de $n$, le carré $p^2$ divise également $n$. Cela signifie que dans la décomposition en facteurs premiers de $n$, tous les exposants sont supérieurs ou égaux à $2$. Par exemple, $6125=5^3\times7^2$ est puissant puisqu’il est divisible par le carré de $5$ et $7$, qui sont ses diviseurs premiers ; en revanche, $6615=3^3\times5\times7^2$ n’est pas puissant puisqu’il est divisible par $p=5$ mais pas par $p^2=25$. Plus près de nous, si l’on peut dire, $8=2^3$ et $9=3^2$ sont puissants.

Plus généralement, si $a$ et $b$ sont des entiers, alors $a^2b^3$ est puissant. En effet, par le lemme de Gauss, si $p$ est un diviseur premier de $a^2b^3$, alors c’est un diviseur de $a$ ou un diviseur de $b$ (ou les deux) et dans ce cas, $p^2$ divise $a^2$ ou $b^3$ et donc leur produit. Il se trouve que tout nombre puissant peut s’écrire sous cette forme et que l’écriture devient unique si on impose que $b$ n’est pas divisible par un carré.

Une question « triviale » de Paul Erdős

Paul Erdős (1913-1996) dit avoir rencontré Kurt Mahler (1903-1988) au congrès international des mathématiciens à Oslo (en 1936, donc)  [1] :

Je lui ai presque immédiatement posé le problème suivant. Un entier est appelé puissant si $p\mid m$ implique $p^2\mid m$ ; y a-t-il une infinité de nombres puissants consécutifs ? Mahler a répondu immédiatement : « Trivialement, oui ! $x^2-8y^2=1$ a une infinité de solutions. » J’étais un peu déconfit parce que je me suis dit que j’aurais dû y penser tout seul.

L’exercice de spécialité consiste à expliquer cette réponse de Kurt Mahler.

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Équation de Pell-Fermat

Dans la première partie de l’exercice de l’équation de Pell-Fermat suivante, dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers : \[\tag{E}x^2-8y^2=1.\] Géométriquement, il s’agit de trouver les points à coordonnées entières sur l’hyperbole définie par cette équation.

L’énoncé demande d’abord de trouver une solution. Si les solutions $(x,y)=(1,0)$ ($1^2-8\times0^2=1$) et $(x,y)=(3,1)$ ($3^2-8\times1^2=9-8=1$) n’apparaissaient pas aux candidat⋅e⋅s, il leur suffisait de lire la suite de l’énoncé, qui en donne une infinité [2] !

Le but de cette partie consiste à expliciter une infinité de solutions entières. En réalité, l’énoncé donne toutes les solutions positives mais cela ne sera pas démontré. Plus précisément, on définit deux suites par récurrence : \[\begin{cases}x_0=1\\y_0=0\end{cases}\quad\text{et, pour tout}\ n\ge0, \quad\begin{cases}x_{n+1}=3x_n+8y_n\\y_{n+1}=x_n+3y_n.\end{cases}\]
Une récurrence facile montre que tous les termes de ces suites sont strictement positifs (sauf $y_0$) et il en résulte que les suites sont strictement croissantes puisque $x_{n+1}-x_n=2x_n+8y_n > 0 $ et $y_{n+1}-y_n=x_n+2y_n$ pour tout $n$. En particulier, tous leurs termes sont distincts.

De plus, tous les couples $(x_n,y_n)$ sont des solutions de $(E)$. On le voit par récurrence en commençant par vérifier la relation valable pour tout $n$ : \[x_{n+1}^2-8y_{n+1}^2=(3x_n+8y_n)^2-8(x_n+3y_n)^2=x_{n}^2-8y_{n}^2.\]
Étonnant, non ?

Mais d’où cela peut-il bien sortir ?

On peut se demander d’où vient l’inspiration pour produire des suites qui réalisent un tel miracle ! Factorisons tout d’abord $x^2-8y^2=\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)\bigl(x-2\sqrt{2}\,y\bigr)$. Ce qui est caché (entre autres), c’est que l’on travaille en réalité avec l’ensemble $A$ des nombres de la forme $z=x+2\sqrt2\,y$ avec $x$ et $y$ entiers. Par exemple, notre solution préférée est associée à $z_0=3+2\sqrt2$.

L’ensemble de ces nombres est un anneau : la somme et le produit de deux éléments de $A$ appartient à $A$. Par exemple, si $x$ et $y$ sont entiers : \[\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)\bigl(3+2\sqrt{2}\bigr)=3x+8y+2\sqrt{2}(x+3y).\]On reconnaît là les formules qui définissent $(x_{n+1},y_{n+1})$ en fonction de $(x_n,y_n)$.

Par ailleurs, posons, pour $x$ et $y$ entiers, $N\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)=x^2-8y^2$. Dire que $(3,1)$ est solution, c’est dire que $N\bigl(3+2\sqrt{2}\bigr)=1$. La propriété clé, c’est la multiplicativité de $N$ : quels que soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$, \[N\Bigl(\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)\bigl(x'+2\sqrt{2}\,y'\bigr)\Bigr)=N\bigl(x+2\sqrt{2}\,y\bigr)N\bigl(x'+2\sqrt{2}\,y'\bigr).\] En prenant $x'+2\sqrt{2}\,y'=3+2\sqrt2$, on retrouve le fait que si $(x_{n},y_n)$ est solution, c’est-à-dire si $N\bigl(x_n+2\sqrt{2}\,y_n\bigr)=1$, alors \[N\bigl(x_{n+1}+2\sqrt{2}\,y_{n+1}\bigr)=N\Bigl(\bigl(x_n+2\sqrt{2}\,y\bigr)\bigl(3+2\sqrt{2}\bigr)\Bigr)=N\bigl(x_n+2\sqrt{2}\,y_n\bigr)N\bigl(3+2\sqrt{2}\bigr)=1\times1=1.\]

Pour tout entier $x$, son carré $x^2$ est puissant. Si $x$ fait partie d’un couple $(x,y)$ de solutions de $x^2-8y^2=1$, alors $x^2-1=8y^2=y^2\times2^3$ est de la forme $a^2b^3$ : par une remarque ci-dessus, cela permet d’en déduire que c’est un nombre puissant.

Ainsi, pour chaque entier $n$, les nombres $x_n^2-1$ et $x_n^2$ sont puissants et consécutifs. Pour en trouver des exemples plus grands que 2018, il suffit de calculer des termes de la suite :
\[(x_1,y_1)=(3,1),\quad (x_2,y_2)=(17,6),\quad (x_3,y_3)=(99,35)\dots\] On en déduit que $99^2=9801$ et $99^2-1=9800$ sont puissants. Vérifions pour le plaisir du calcul : $99^2=(3^2\times11)^2=3^4\times11^2$ et $9800=8\times35^2=2^3\times5^2\times7^2$ (de tête, puisque $x_3^2-1=8y_3^2$).

Les nombres puissants consécutifs sont-ils rares ?

Voici les nombres $m$ plus petits que douze millions tels que $m$ et $m-1$ sont puissants. Sont notés en gras ceux qui sont de la forme $x_n^2$ (on écarte $1$, même si $0$ et $1$ peuvent être considérés comme puissants) : \[\mathbf{9},\quad \mathbf{289},\quad 676,\quad \mathbf{9\,801},\quad 12\,168,\quad 235\,225,\quad \mathbf{332\,929},\quad 465\,125,\quad 1\,825\,201,\quad \mathbf{11\,309\,769}.\]
On voit que les nombres auxquels Mahler avait pensé en représentent une forte proportion. Je ne sais pas si cette proportion diminue.

Ce que l’on constate, c’est que les paires de nombres puissants consécutifs semblent se raréfier. Des recherches récentes ont permis de quantifier ce phénomène. Pour cela, notons $P(x)$ le nombre de paires de nombres puissants consécutifs inférieurs à $x$. Par exemple, $P(37)=1$ car la seule paire convenable est $(8,9)$ ; plus loin, $P(300)=2$ pour les paires $(8,9)$ et $(288,289)$, etc.

Erdős a conjecturé que $P(x)$ est majoré par $(\log x)^A$ pour une constante $A$ convenable. Ce n’est pas démontré à ce jour. Toutefois, Valentin Blomer et Anita Schöbel ont montré que $P(x)$ était beaucoup plus petit que $x^{61/180}$. Tsz Chan a montré qu’une conjecture célèbre en arithmétique, la conjecture $abc$, avait pour conséquence que $P(x)$ est négligeable devant $x^\varepsilon$ pour tout $\varepsilon>0$. Même avec cette conjecture difficile, c’est loin de l’estimation conjecturée par Erdős !

Post-scriptum :

Dans l’encyclopédie en ligne des suites d’entiers, Franklin T. Adams-Watters donne une réponse encore plus simple à la question d’Erdős. Il remarque que si $x$ et $x+1$ sont puissants, alors $4x(x+1)$ et $4x(x+1)+1=(2x+1)^2$ le sont. La suite définie par $u_0=8$ (correspondant à $x_1^2=9$ dans le sujet du bac) et, pour tout $n$, $u_{n+1}=4u_n(u_n+1)$ est donc formée de nombres puissants dont le successeur est puissant. Cette suite croît beaucoup plus vite que la suite des $(x_n^2)_{n\in\mathbf{N}}$ : après $8$, les termes suivants sont $288$, $332\,928$ et $443\,365\,544\,448$.

 

Addendum (24 juin) : voici le sujet du bac et un texte pour résoudre l’équation $X^2-2Y^2=\pm1$ (l’équation $x^2-8y^2=1$ considérée dans l’article correspond aux solutions avec $Y=2y$ pair et le second membre positif).

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Sujet du bac S 2018
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Nombres ditriangulaires et triangulaires-carrés

Notes

[1Voir Some personal and mathematical reminiscences of Kurt Mahler, Austral. Math. Soc. Gaz., 16 (1) (1989), 1-2, cité par Jonathan Sondow dans l’OEIS.

[2C’est souvent que pour résoudre une question, on trouve la réponse ou des indications dans la suite de l’énoncé. Trop peu d’étudiant⋅e⋅s le savent.

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Pour citer cet article :

Jérôme Germoni — «Nombres puissants au bac S» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Nombres puissants au bac S

    le 24 juin à 07:24, par Christian Aebi

    Bel article !
    Il y a juste une petite coquille 4 lignes sous l’équation (E) :
    $(x,y)=(3,1)$ est solution et non $(3,2)$

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    • Nombres puissants au bac S

      le 24 juin à 09:45, par Jérôme Germoni

      Merci ! Pour la coquille, je me suis embrouillé avec le $2$ de $3+2\sqrt2$. J’en profite pour évoquer une autre façon d’écrire l’équation, à savoir \[x^2-2\times(2y)^2=1.\] En posant $X=x$ et $Y=2y$, l’équation du sujet, qui est celle qu’évoque Mahler, décrit donc les solutions avec $Y$ pair et second membre positif de l’équation $X^2-2Y^2=\pm1$.

       

      Cette équation permet de résoudre deux jolis problèmes :

      • — quels sont les nombres triangulaires qui sont aussi carrés ?
      • — quels sont les nombres triangulaires dont le double est un nombre triangulaire ?

       

      Rappelons que le $k$-ième nombre triangulaire est $1+2+\cdots+k=k(k+1)/2$ ; le $\ell$-ième nombre carré est évidemment $\ell^2$. Il s’agit de résoudre les équations \[\frac{k(k+1)}2=\ell^2\quad\text{et}\quad\frac{k(k+1)}2=2\times\frac{\ell(\ell+1)}2.\] En chassant les dénominateurs (c’est naturel) puis en multipliant par $4$ (astuce !), on se ramène respectivement à \[(2k+1)^2-2\times(2\ell)^2=1\quad\text{et}\quad (2k+1)^2-2\times(2\ell+1)^2=-1.\] On peut paramétrer les solutions de ces équations par des suites analogues à celles du sujet, qui correspondent aux puissances de $1+\sqrt2$. Les puissances paires décrivent les nombres « triangulaires-carrés », les impaires les « ditriangulaires ». Par exemple, partant de $\bigl(1+\sqrt2\bigr)^4=17+12\sqrt2$, on pose $2k+1=17$ et $2\ell=12$, soit $k=8$ et $\ell=6$ : on a bien $\frac{8\times(8+1)}2=6^2$. Ou encore : partant de $\bigl(1+\sqrt2\bigr)^5=41+29\sqrt2$, on pose $k=20$ et $\ell=14$ et on a bien : $\frac{20\times(20+1)}{2}=2\times\frac{14\times(14+1)}{2}$.

      Pour plus de détails, j’ajoute un document à l’article.

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      • Nombres puissants au bac S

        le 24 juin à 10:57, par Christian Aebi

        Deux références historiques en rapport avec les solutions de l’équation $x^2 -2y^2=\pm 1$ :

        • L. Euler : « Seconde question : Trouver tous les nombres triangulaires, qui sont en même temps des quarrés », Eléments d’Algèbre, 2e éd. 1798, §88, p. 105.
        • J. Ozanam : « Problème II : Trouver tant qu’on voudra de Triangles rectangles en nombres, dont les côtés ne different que de l’unité », Récréation Math. et Physique, éd. 1790, p. 48.

        Il y en a certainement de bien plus anciennes.

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  • Nombres puissants au bac S

    le 24 juin à 20:57, par FDesnoyer

    Bonjour,

    la question était, certes, intéressante même si elle n’est que survolée dans le sujet, mais elle est surtout desservie par des questions passablement ineptes :
    « montrer que si x_n>0 alors x_n+1>x_n » ce qui n’est pas faisable par un élève de TS (normal) sans une indication ou alors sous une autre formulation
    « montrer que l’équation admet une infinité de solutions », ah ? et qui parmi les enseignants de Ts a déjà fait un VRAI cours sur les ensembles (infinis ou non) donnant des méthodes aux élèves pour répondre à ça ? on leur demande de mimer la démonstration de l’infinitude des nombres premiers et... ça manque d’élégance, non ?

    Bref, votre article m’aura appris plein de choses et m’en aura rappelé d’autres (comme les réduites de la fraction continue comme solutions de l’équation de Pell-Fermat), merci :-)

    Bonne journée

    F. Desnoyer

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    • Nombres puissants au bac S

      le 25 juin à 17:51, par Emmanuel Jacob

      Bonjour,

      Ce billet n’a nullement pour objet de juger de la qualité du sujet d’examen pour les élèves qui l’ont passé... et il ne me semble donc pas que ce soit le bon endroit pour en débattre.

      Une réaction, toute personnelle, à la deuxième “question inepte”, toutefois :
      Il s’agit de démontrer que l’équation a une infinité de solutions, sachant qu’on a déjà construit une suite strictement croissante de solutions...
      A priori, il faut donc surtout bien justifier que ces solutions sont distinctes, ce qui ne me semble pas infaisable pour un TS.
      Je ne vois pas de rapport avec une démonstration de l’infinitude des nombres premiers, qui fait intervenir un raisonnement par l’absurde ou du moins ne construit pas explicitement une suite infinie de nombres premiers.

      Enfin, il me semble qu’un élève peut tout à fait répondre à cette question sans avoir suivi de cours sur les ensembles, de même qu’un élève peut répondre à une question contenant des connecteurs logiques sans avoir suivi un cours de logique.

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  • Proportion des nombres puissants « de Mahler »

    le 25 juin à 18:53, par Emmanuel Jacob

    Merci pour ce beau billet d’actualité !

    Comme question niveau bac +1, on pourrait montrer que $x_n$ est le plus petit entier plus grand que $(3+2\sqrt 2)^n/2$ (et qu’en fait la différence tend rapidement vers 0).
    Une conséquence est que si les paires $(x_n^2-1, x_n^2)$ ne représentaient pas asymptotiquement une proportion négligeable des paires de nombres puissants consécutifs, alors non seulement la conjecture d’Erdős serait vérifiée, mais en plus elle le serait avec $A=1$ !

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  • Nombres puissants au bac S

    le 25 juin à 22:07, par projetmbc

    Bonsoir, sauf erreur de ma part, dans ce document perso, vous trouverez une solution élémentaire donnant la matrice A et donc la suite.

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    • Nombres puissants au bac S

      le 25 juin à 22:18, par projetmbc

      Je parle bien entendu de la matrice du sujet du BAC.

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    • Nombres puissants au bac S

      le 26 juin à 10:07, par Jérôme Germoni

      C’est astucieux.Pour une interprétation de ces calculs, je vais garder $(a,c)$ plutôt que $(c,d)$ pour paramétrer les solutions (parce qu’il est plus facile d’interpréter la première colonne d’une matrice que sa deuxième ligne dont on échange les coefficients). D’après vos calculs, pour chaque solution $\mathrm{a}=(a,c)$ de l’équation $x^2-8y^2=1$, on peut fabriquer une matrice $A=A_{a,c}=\left(\begin{smallmatrix}a&8c\\c&a\end{smallmatrix}\right)$ qui préserve l’ensemble des solutions : pour tout couple $\mathrm{x}=(x,y)$, on forme une nouvelle solution $\mathrm{a}*\mathrm{x}$, donnée par le vecteur-colonne $A\binom{x}{y}=\binom{ax+8cy}{cx+ay}$. Notez que la solution $\mathrm{e}=(1,0)$ correspond à la matrice identité et que $(a,-c)$ correspond à la matrice inverse de celle qui est associée à $(a,c)$. On peut montrer que l’opération $*$ est associative (voir ci-dessous).

      Au bilan, tout cela signifie que l’ensemble des solutions de $x^2-8y^2=1$ est muni d’une structure de groupe. Ce n’est pas de l’abstraction pour l’abstraction : en vous suivant, la structure est utilisée pour construire de nouvelles solutions à partir de solutions connues.

       

      Voici trois autres avatars de ce groupe. Matriciellement pour commencer. La colonne $\mathrm{a}=\binom{a}{c}$ peut être complétée de façon unique en la matrice $A$ ; de même, partant d’une solution quelconque $\mathrm{x}=\binom{x}{y}$, on forme la matrice $X=\left(\begin{smallmatrix}x&8y\\y&x\end{smallmatrix}\right)$. La nouvelle solution $\mathrm{a}*\mathrm{x}$ correspond à $AX$.

       

      Algébriquement, la matrice $A$ est la matrice de la multiplication par $a+2\sqrt{2}\,c$ ; le déterminant de $A$ est $1=a^2-8c^2=N\bigl(a+2\sqrt{2}\,c\bigr)$, ce qui explique l’inversibilité de cette opération. Le groupe des unités de $\mathbb{Z}\bigl[2\sqrt{2}\bigr]$ (éléments de norme $\pm1$) s’identifie aux matrices de la forme $\left(\begin{smallmatrix}a&8c\\c&d\end{smallmatrix}\right)$ et de déterminant $\pm1$. Cette matrice est la matrice de la multiplication par $a+2\sqrt{2}\,c$ dans la base $\bigl(1,2\sqrt{2}\bigr)$ (du $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Z}\bigl[2\sqrt{2}\bigr]$).

       

      Pour la version géométrique, il faut constater que dans ce cadre, tout marche avec des coordonnées réelles quelconques, pas seulement entières. C’est en fait toute l’hyperbole qu’on peut transformer en groupe. Pour trouver $\mathrm{a}*\mathrm{x}$, on peut procéder ainsi. On trace la droite passant par $\mathrm{e}$ et parallèle à la droite $(\mathrm{a}\mathrm{x})$ : elle coupe l’hyperbole en deux points, $\mathrm{e}$ et $\mathrm{a}*\mathrm{x}$. Si $\mathrm{a}=\mathrm{x}$, il suffit de remplacer la droite $(\mathrm{a}\mathrm{x})$ par la tangente à l’hyperbole en $\mathrm{a}$.

      On reconnaît là la règle des tangentes et des sécantes pour une courbe elliptique, si ce n’est qu’ici la courbe elliptique dégénère en la réunion de notre hyperbole et de la droite à l’infini. (Jeu : que donne cette recette pour la parabole $y=x^2$ ou le cercle $x^2+y^2=1$ ?)

       

      Il y a là tout un dictionnaire entre ces trois versions du groupe. Par exemple, le passage à l’inverse $A\mapsto A^{-1}$ correspond à la « conjugaison » $a+2\sqrt2\,c\mapsto a-2\sqrt2\,c$, c’est-à-dire à la réflexion $(a,c)\mapsto(a,-c)$ par rapport à l’axe des $a$.

       

      Bref, on a avec cette équation $x^2-8y^2=\pm1$ un problème qui peut s’aborder de très nombreuses façons plus ou moins élémentaires. Ce qui donne l’unité de ces approches, c’est la structure de groupe qui se manifeste à travers plusieurs avatars.

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      • Nombres puissants au bac S

        le 26 juin à 11:04, par projetmbc

        Pour la structure de groupe, c’est celle d’une conique me semble-t-il sauf erreur de ma part.

        PS abstrait : l’abstraction est la puissance des maths. J’adore !

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      • Nombres puissants au bac S

        le 26 juin à 13:36, par Jérôme Germoni

        Accordons-nous sur le « la » : sur une conique donnée, il y a une structure de groupe définie par la règle des sécantes et des tangentes pour chaque point de la conique.

        Voyons d’où vient ce degré de liberté. Factorisons l’équation (décidément, c’est la clé de tout) : $\bigl(x+2\sqrt2\,y\bigr)\bigl(x-2\sqrt2\,y\bigr)=1$ et posons $(X,Y)=\bigl(x+2\sqrt2\,y,x-2\sqrt{2}\,y\bigr)$. Dans le repère dont les coordonnées sont $(X,Y)$, l’hyperbole a donc pour équation $XY=1$ et le point $\mathrm{e}=(1,0)$ a pour coordonnées $(1,1)$. On peut vérifier qu’avec la règle des sécantes et des tangentes, le produit de deux points ayant pour coordonnées $(X_1,Y_1)$ et $(X_2,Y_2)$ est celui de coordonnées $(X_1X_2,Y_1Y_2)$. Autrement dit, le groupe associé à l’hyperbole est isomorphe à $\mathbb{R}^*$ : à un réel non nul $X_1$, on associe le point de coordonnées $(X_1,Y_1)$ de l’hyperbole.

        À présent, choisissons $k$ non nul et faisons le changement de repère défini par $(X',Y')=\Bigl(k\bigl(x+2\sqrt2\,y\bigr),k\bigl(x-2\sqrt{2}\,y\bigr)\Bigr)$. Modifions la règle des sécantes et des tangentes en prenant, à la place de $\mathrm{e}$, le point $\mathrm{e}'$ qui a pour coordonnées $(X',Y')=(1,1)$ – dans ce nouveau repère. C’est une nouvelle structure de groupe sur la conique dont le neutre est $\mathrm{e}'$. En fait, choisir $k$, c’est équivalent à choisir $\mathrm{e}'$.

        Encore une fois, il est amusant de jouer au jeu des sécantes et des tangentes sur $y=x^2$ (avec $(0,0)$ pour neutre) et sur $x^2+y^2=1$ (avec $(1,0)$ pour neutre). Avec le premier, on constate que le groupe sous-jacent est $\mathbb{R}$ ; avec le second, c’est $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ (et on voit en prime les formules d’addition du cosinus et du sinus !).

        Revenons à notre hyperbole. Du point de vue de la conique réelle, toutes ces structures de groupe sont équivalentes (jeu : en voyant le groupe comme $\mathbb{R}^*$, comment passe-t-on de l’une à l’autre ?). En revanche, pour la géométrie arithmétique, qui s’intéresse aux points à coordonnées entières sur l’hyperbole, ce n’est pas le cas car en général, le changement de repère défini par $(X',Y')$ n’envoie pas un point à coordonnées entières sur un point à coordonnées entières : on perd cette structure (dite rationnelle). De plus, on perd le lien avec l’anneau $\mathbb{Z}\bigl[\sqrt2\bigr]$.

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        • Nombres puissants au bac S

          le 27 juin à 11:05, par projetmbc

          Bien entendu mon LA était un LA du diapason des livres académiques sur les coniques. ;-)

          PS : en parlant de conique et de géométrie, je vous conseille « Newton implique Kepler : méthodes géométriques élémentaires pour l’enseignement supérieur en mathématiques », un excellent livre qui fait la part belle au raisonnement géométrique, un raisonnement qui est actuellement mis à mal dans les nouveaux programmes scolaires. Il y aurait tant à dire sur le tournant que l’on veut faire prendre aux maths actuellement mais ce n’est pas le lieu.

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  • Nombres puissants au bac S - Pourquoi des canards ?

    le 27 juin à 11:26, par projetmbc

    Très joli PDF où tout soûle source sauf la référence aux canards. Quelqu’un a-t-il saisi ?

    Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S - Pourquoi des canards ?

      le 27 juin à 11:31, par projetmbc

      Est-ce une référence « visuel » qui plane un peu haut ?

      Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S - Pourquoi des canards ?

      le 27 juin à 13:53, par projetmbc

      Je voulais écrire tout coule de source et non tout soûle source .

      Répondre à ce message
    • Nombres puissants au bac S - Pourquoi des canards ?

      le 27 juin à 21:32, par Jérôme Germoni

      Ah oui ! les canards ! Imaginez un vol de canards : le canard de tête, suivi par deux canards sur la deuxième ligne, trois sur la ligne suivante, etc. Tout à coup, un coup de vent divise le vol en deux groupes de même taille qui peuvent se reconstituer en vols de canards : combien peut-il y avoir de canards ?

      (Bon, c’est vrai que les canards volent plutôt en forme de V que selon l’arrangement des nombres triangulaires. Petite liberté des mathématiques face à l’éthologie pour motiver l’équation $\frac{m(m+1)}2=2\frac{\ell(\ell+1)}{2}$.)

      Répondre à ce message

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