Nombres remarquables

Le 18 décembre 2019  - Ecrit par  Lamberto García del Cid Voir les commentaires (12)

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré


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En 2013, l’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques avaient uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique, publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter, à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social, technique, culturel ...
Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette édition avait été entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ; des préfaces et listes bibliographiques rajoutées.

En 2019, cette collection est de nouveau éditée, présentée par Étienne Ghys et distribuée par L’Obs.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série, un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera également accompagné du sommaire du livre et d’une invitation à prolonger votre lecture.

Une promenade au Jardin des Nombres

Préface de Shalom Eliahou, professeur à l’Université du Littoral Côte d’Opale

Le monde des nombres est d’une diversité extraordinaire, comparable à celle du
monde végétal par exemple. Mais alors que pour apprécier celle-ci, on a le Jardin
des Plantes à Paris et d’autres précieux jardins botaniques ailleurs, qu’a-t-on de tel
pour les nombres ? Les donner à voir est plus diffi cile, puisque c’est essentiellement
dans nos têtes qu’ils vivent. Imaginez ce que pourrait être un Jardin des Nombres, où
chacun pourrait se promener à loisir, flâner et s’attarder plus longuement auprès des
spécimens les plus captivants à ses yeux. C’est un peu la fonction remplie par ce livre.

Depuis toujours, les nombres se prêtent à toutes sortes d’interprétations, de
croyances, de jeux, d’astuces et de questions. Tous ces aspects sont abordés ici. On a
ainsi l’occasion de visiter ou revisiter la signification particulière de tel ou tel nombre
dans l’Antiquité, dans les grandes religions ou encore dans les civilisations non occidentales.
L’époque moderne n’est évidemment pas en reste, bien au contraire.

Le cœur du livre recèle d’innombrables exemples du comportement souvent
mystérieux des nombres. C’est d’ailleurs l’un des aspects fascinants de l’arithmétique
 : la liberté totale, que chacun peut exercer sans limite, de se poser des questions
sur ces êtres apparemment simples que sont les nombres entiers naturels. L’essentiel
n’est pas de savoir si cela est utile, mais bien plutôt de savoir si l’on dispose ou pas
des outils conceptuels nécessaires pour y répondre. Quand c’est le cas, tant mieux.
Et dans le cas contraire, cela révèle les failles de la connaissance qui restent à combler.

De façon toujours surprenante, des questions même très simples peuvent poser
de redoutables défis. Que sait-on, par exemple, sur les nombres parfaits, nom donné
par Euclide aux nombres qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs stricts ?
Les nombres 6 et 28 sont parfaits, puisque 6 = 1 + 2 + 3 et 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
On en connaît bien quelques autres, mais... y en a-t-il une infinité ? Or ça, on
l’ignore toujours, même après 2000 ans de réflexion collective ! Pour l’anecdote, le
48e nombre parfait connu vient d’être découvert, le 25 janvier 2013. Bien que ce
géant compte près de 300 billions de chiffres, on peut le décrire en peu de caractères
 : c’est le nombre $2^{57\:885\:160} \times (2^{57\:885\:161} – 1)$. L’intérieur de la parenthèse est un premier de Mersenne, et c’est le plus grand nombre premier connu à ce jour.

On découvrira dans l’ouvrage bien d’autres nombres aux propriétés arithmétiques
très spéciales. Citons en vrac les nombres amicaux, fiancés, sociables, heureux,
ambitieux, chanceux, narcissiques, mauvais, abondants, répunits, primoriels, pyramidaux, cycliques, rectangulaires, sourds, automorphes, oblongs, décagonaux, reimerp, étranges, symétriques, intouchables, etc. C’est une ode à l’ingéniosité humaine.
D’autres spécimens encore sont affublés d’un nom propre, souvent celui de son
inventeur mais pas toujours. Mentionnons par exemple les nombres premiers de
Sophie Germain ; ou les nombres de Fibonacci, bien connus du public et abordés
ailleurs dans cette collection ; ou encore, les très élusifs nombres de Lychrel, dont le
plus petit exemplaire connu est 196. En l’occurrence, Lychrel est une anagramme
approximative de Cheryl, prénom de la petite amie de l’inventeur de ces nombres
insaisissables.

De par l’abondance des curiosités numériques présentées et de leur accessibilité,
ce livre peut donner l’occasion d’heures d’amusement, solitaire ou en famille. Avec
une calculette ou autre machine de plus gros calibre, vérifiez les propriétés annoncées
de tel ou tel nombre. Vérifiez, par exemple, que 496 et 8 128 sont eux aussi
parfaits, comme 6 et 28. Ou encore, mettez vos enfants au défi de le faire ; ce peut
être l’occasion d’éveiller leur curiosité pour les nombres et les mathématiques – un
acquis toujours utile à l’école et tout au long d’une vie d’adulte.

Il fallait bien un dernier chapitre pour s’occuper de nombres considérés comme
néfastes ou pouvant faire peur, comme 11, 13 ou 666. Or l’arithmétique, encore elle,
peut servir de contrepoids à ces phobies – à moins que ce ne soit de confirmation.
Entre autres propriétés surprenantes de 666, par exemple, ce nombre est la somme
des carrés des 7 premiers nombres premiers : $666 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2$. Inattendu, n’est-ce pas ? Que le lecteur s’amuse à découvrir les innombrables autres surprises présentées dans ce livre.

Extrait du Chapitre 3 - Nombres avec un nom et même un prénom

Nombres de Sophie Germain

Les nombres de Sophie Germain, nommés en l’honneur de leur découvreuse, la mathématicienne française Marie-Sophie Germain, sont des nombres premiers d’une forme particulière : ceux qui multipliés par $2$ et ajoutés à l’unité, donnent un autre nombre premier. En notation symbolique, $p$ est un nombre premier de Sophie Germain si $2 \times p+ 1$ est lui aussi premier. Le plus petit nombre premier de Sophie Germain qui existe est le $2$, car $2 \times 2 +1 =5$, qui est aussi un nombre premier. Le suivant est le $3$, car $2 \times 3 + 1 = 7$. Le plus grand nombre premier de Sophie Germain connu a été pendant très longtemps $9 402 702 309 \times 10^{3 000} + 1$. Le double de ce nombre, ajouté ensuite à l’unité, donne un nombre premier. En mars 2010, on a découvert celui qui détient le record parmi les nombres premiers de Sophie Germain :
\[183 027 \times 2^{265 440} + 1.\]

Il possède 79 911 chiffres ; et comme tout nombre de Sophie Germain, si on
le duplique et qu’on y ajoute une unité, on obtient un autre nombre premier :
\[183 027 \times 2^{265 441} + 3.\]
On conjecture, bien qu’on ne l’ait pas démontré, que les nombres premiers de
Sophie Germain sont en nombre infini, à l’instar des nombres premiers.

Nombres de Lychrel

Un nombre de Lychrel est un nombre naturel qui, si on fait de façon itérative la
somme entre le nombre donné et celui obtenu en inversant ses chiffres, n’aboutit
jamais à un palindrome. Ce processus est appelé algorithme $196$, car $196$ est le premier
nombre naturel qui semble satisfaire cette contrainte.
Normalement, un nombre palindrome s’obtient par des règles arithmétiques
simples : à un nombre donné, on ajoute le nombre que forment ses chiffres inversés.
Si le résultat n’est pas palindrome, on applique la règle précédente au nouveau
nombre. Après plusieurs étapes, on arrive à un nombre palindrome. Par exemple :

$56 + 65 = 121$, en une étape
$139 + 931 =1 070$ ; $1 070 + 0701 =1 771$, en deux étapes.

Mais cette astuce ne fonctionne pas toujours. Le premier entier naturel pour lequel
la règle semble ne jamais fonctionner est le nombre $196$, d’où sa particularité. Ces
nombres irréductibles à un palindrome en les ajoutant à leur nombre inverse se nomment
nombres de Lychrel, nom donné par le mathématicien Wade Van Landingham
(Lychrel étant une anagramme approximative du nom de sa fiancée, Cheryl).
Aujourd’hui encore, aucun nombre de Lychrel outre le $196$ n’a été découvert,
mais on pense qu’il en existe beaucoup.

Nombres de Fibonacci

Ce sont les nombres de la fameuse suite, célèbre pour ses apparitions dans des livres
ou au cinéma, qui fut élaborée par Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci
(fils de Bonaccio). Les nombres sont représentés par ${F_n}$ et suivent la séquence :
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…,$ où chaque terme est la somme des deux précédents, à l’exception des deux premiers termes. Mais arrêtons-nous un peu sur cette suite numérique,
sans doute la plus célèbre des mathématiques. Elle apparaît pour la première fois dans
le livre Liber Abaci de Fibonacci (env. 1175-env. 1250) en relation avec le calcul de
l’évolution de la population de lapins. Fibonacci se demanda combien de couples
de lapins on obtiendrait en un an en commençant avec un seul couple, si chaque
couple engendrait un nouveau couple qui devenait fertile au bout de deux mois.
En supposant que les lapins se reproduisent sans cesse, le nombre de lapins nés à la
fin de chaque mois suivrait cette séquence :
\[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…\]
Graphiquement, l’évolution de la portée de lapins serait la suivante :

Le cercle étoilé représente les couples en période fertile et le cercle simple, les
couples non fertiles. Sur la droite, à la fin de chaque mois : la suite de Fibonacci.
Cette suite possède une multitude de propriétés qui en fait la suite numérique la
plus étudiée, mais la propriété principale, selon nous, est sa relation avec le nombre
d’or, ou divine proportion, $\Phi$. Vérifions-le en trouvant la proportion résultant de
la division d’un de ces nombres par le précédent :

La suite de Fibonacci et le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est un triangle qui, contrairement à ce qu’indique son nom, ne fut pas
découvert par Pascal, bien que ce soit lui qui l’ait fait connaître en Occident. On sait que, dans
l’Antiquité, le Chinois Chia Hsien utilisa ce triangle pour extraire des racines carrées et cubiques
des nombres. On suppose aussi qu’il était connu du mathématicien perse du XIe siècle, Omar
Khayyam, auteur des célèbres Rubaïyat, qui affirmait posséder une méthode pour extraire les
racines carrées et cubiques. Mais nous mentionnons ici ce triangle singulier pour sa relation avec
la suite de Fibonacci. Si l’on trace des lignes transversales sur ledit triangle, comme indiqué sur la
figure ci-après, on découvre que les sommes de ces lignes obliques donnent, en ordre, les nombres de la suite de Fibonacci.

Plus nous avançons, plus nous nous rapprochons du nombre d’or $(1,61803…)$.
De fait, la limite de la suite décrite précédemment est le nombre d’or :
\[ \lim_{n \rightarrow \infty} F_n/F_{n-1} = \Phi. \]

[...]

PDF - 1.5 Mo
Sommaire du livre
Post-scriptum :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Shalom Eliahou. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

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Pour citer cet article :

Lamberto García del Cid — «Nombres remarquables» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

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  • Nombres remarquables

    le 7 juillet 2014 à 20:16, par Shalom Eliahou

    Oui, ce prolongement de la suite de Fibonacci « vers la gauche » a déjà été considéré. Les premiers termes que vous en donnez sont parfaitement corrects, et peuvent se résumer par la formule

    F(-n) = (-1)^(n-1) * F(n)

    pour tout nombre entier n.

    Bien cordialement,

    Shalom

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