Notre univers est-il irréversible ?

Piste rouge Le 20 septembre 2013  - Ecrit par  Nils Berglund Voir les commentaires

Si vous vous amusez à passer à l’envers les vidéos faites durant vos vacances, vous observerez des comportements bizarres : les morceaux du vase brisé se reforment comme par magie ; la boule de glace que le petit dernier a laissé tomber remonte spontanément dans son cône. Nous avons un sens inné de la direction dans laquelle s’écoule le temps. Pourtant les équations microscopiques de la physique sont parfaitement symétriques par rapport au renversement du temps. Comment expliquer cette apparente contradiction ?

La physique des vases et des boules de glace étant déjà relativement compliquée, nous allons considérer un système plus simple à décrire : un gaz de faible densité contenu dans deux récipients connectés par un petit tube. L’animation suivante donne une image de ce qui se passe à l’échelle microscopique : les molécules du gaz se déplacent dans tous les sens, et rebondissent sur les bords du récipient. Nous avons choisi une configuration initiale où toutes les molécules se trouvent dans le récipient de gauche, et on les voit peu à peu se répartir sur les deux récipients.

Est-il possible de voir toutes les molécules revenir dans le récipient de gauche ? Cela serait contraire à notre intuition, comme à notre expérience de tous les jours.
Comme l’a formulé Henri Poincaré :

Qu’une goutte de vin tombe dans un verre d’eau ;
quelle que soit la loi du mouvement interne du
liquide, nous le verrons bientôt se colorer d’une
teinte rosée uniforme et à partir de ce moment on
aura beau agiter le vase, le vin et l’eau ne paraîtront
plus pouvoir se séparer. Ainsi voici quel
serait le type du phénomène physique irréversible :
cacher un grain d’orge dans un tas de blé, c’est
facile ; l’y retrouver ensuite et l’en faire sortir,
c’est pratiquement impossible.
 [1]

Toutefois, une évolution où toutes les molécules retournent dans le récipient de gauche est parfaitement compatible avec les équations de la physique. Une autre façon de dire les choses : si à un temps donné, on pouvait arrêter toutes les molécules, pour les faire repartir en sens inverse, en suivant les lois de la physique, elles reviendraient dans leur configuration initiale. On dit que ces lois sont réversibles.

Un point qui a beaucoup intrigué les physiciens de la fin du XIXe siècle est que le comportement réversible des molécules semble en contradiction avec les lois de la thermodynamique, qui décrivent par exemple le fonctionnement des machines à vapeur. En thermodynamique, les transformations sont souvent irréversibles, ce qui limite le rendement des machines convertissant la chaleur en travail, et rend impossible la construction d’un mouvement perpétuel. Pourtant ces systèmes sont constitués d’atomes ou de molécules dont le comportement est parfaitement réversible. Comment peut-on réconcilier ces deux aspects qui paraissent contradictoires ?

La réponse de Ludwig Boltzmann

Une réponse à ce paradoxe apparent a été fournie par physicien autrichien Ludwig Boltzmann, et cette réponse est essentiellement encore valable aujourd’hui :

Puisqu’un système de particules donné ne peut jamais aller de lui-même vers un état de même probabilité, mais seulement vers un état plus probable, il est également impossible de construire un système de particules qui, après avoir parcouru différents états, retournerait périodiquement dans son état initial : un mouvement perpétuel. [2]

Essayons de clarifier le contenu de cette phrase. Boltzmann introduit ici la notion de probabilité d’un état. Les différents états du système (définis par exemple par le nombre de molécules dans le récipient de gauche) n’ont pas tous la même probabilité. Un système constitué d’un grand nombre de particules a fortement tendance à évoluer vers des états plus probables, ce qui l’empêche de revenir dans son état initial, du moins si celui-ci est peu probable.
Boltzmann en déduit que des comportements qui violeraient l’irréversibilité sont tellement improbables qu’on ne les observe pas en pratique.

Dans cet article nous nous proposons d’expliquer ce que cela veut dire de manière plus quantitative.

Nombre d’Avogadro

La simulation ci-dessus a été faite avec $200$ particules. En vérité, la matière à notre échelle en contient beaucoup plus. Une mole est par définition un échantillon de matière contenant autant d’atomes ou de molécules que $12$ grammes de carbone $12$. Une mole d’eau (H$_2$O, poids atomique $18$) pèse environ $18$ grammes [3a>]

UnLnombre de 8217;atomes ou delécules qur mago est quparel les i>monbre d’Avogadro Bo\[ N_A = 6,\!02214129 \testr 10^{23} \]r class='autobr' /> Comnombre det quand n,ravs avand nPourta miG rs8217;en fand ircomport il gie&nonqui vius prrple acis choiuellelécules e canos18$ grammes

class="coip">Noi> i> i>> il> >UnOneut japeert_ue le thelleur gigte dse desuombre de 8217;atogadro [4a>]moi du coznd nnombres ph3i /p>

NoL du coznd nnombres ph3>

LaIlonvernt de once diresngs_u ensue 1Dcription" icroscopiques spaontbsp;: unDs leel 2Dcription" icaoscopiques spaontbsp;: unCbren Qlle qufférentscensue p>Dans ce conslne un dirrt l nous allns chnoefii$X$,e nombre de molécules dans le récipient de garrt l .i$X$e peut japnd ircoe $183$aleur dnbsp;: si$0$,e$1$u de$. UnEfairet,eux as cronfiguration imicroscopiques donfes&npde ert é thme prnfiguration incaoscopiques ,ela où to$X$evr di$1$,arboette phrnierr éndiresngs_u ptia lmolécules sesue

UnVons de qui se passe àpr de83$alécules sbsp;?

p>DaIesy éin">nant au$8$anière pse dis danesyos cens le rdeux récipients.< ($8$anfiguration imicroscopiques d)pr de84$anfiguration imicaoscopiques d/p>

UnPr de84$alécules, pons obsenan imi$16$anfiguration imicroscopiques dnete$5$icaoscopiques d/p>

v class="degures p>Danmanière plgénratu c&pr de8N$alécules, pons obauro le$2^N$anfiguration imicroscopiques dn( esy éux roisixossible ddepr deacentruantce co lmo8N$alécules, )et ce$N+1$anfiguration imicaoscopiques d/elariner"ronfiguration imicaoscopiques devioundpent

UnSupsons d&in">nant aue celiuelletat incroscopiques laisême probabilité. e 8217;atopraîtronc& ésoir pa$1/2^N$Les ditats plcaoscopiques den8217;enauro pas tous la même probabilité. UnP exemple p,a>

class="coip">Noi> i> i>> il> >UnEfairet,el ditats plac $2 peu seès autant d&#molécules dans le rdeux récipients.< nt pars probables, ue cela aspc $2aucoup plus. &#molécules dan8217;une

v class="d'cs_ockqs'>Lloi dubimbrle. a>>v class="d'ockqs_ lmngsion inockqs_iernble laockqs_slide' >UnOneut janne ulee érmuléexpliquce avur lesarobabilité. e l’écot incaoscopiques u$X$.r class='autobr' /> Comne qi esvr dir class='autobr' /> Bo\[ \acta{1}{2^N} \bimbr{N}{X} \]r class='autobr' /> Co to sitbols. u$\bimbr{N}{X}$,eauiblhnoefii$C^X_N$,e àté#171; po$X$eramio8N$bsp;» Come esurnie dir class='autobr' /> Bo\[ \bimbr{N}{X} = \acta{N\testr(N-1)\testr\dots\testr(N-X+1)}{X\testr(X-1)\testr\dots\testr2\testr1} \]r class='autobr' /> CoP exemple p,n poar class='autobr' /> Bo\[ \bimbr{4}{2} = \acta{4\testr3}{2\testr1} = 6 \]r class='autobr' /> Co qui set

UnLnnombres pr$\bimbr{N}{X}$,eaarel lsbrsontcoeffien a bizambrlesont,e refoouvent dans le r href="htLerimeanglde-laPaale=tml" class="bpip_noin'a sontimeangldod$1Paale=a>sonta>

iv> div> p>DaLorse le combre de molécules da8N$aaugnt e le viénomène phs8217;enacnter : ls lonfiguration imipc $2emoi du coznd nnombres ph3i /ourta lformuléer,ntroduit ns d&sarobartemn av l&lécules dans le récipient de garrt l ,ir class='autobr' /> Bo$x=X/N$. l8217;est

v class="dethm" [5a>]

UnSianos1ux récipients conneent nt encomble en$10^{24}$alécules spor class='autobr' /> liqarobabilité. ee le thobartemn av l&lécules dasué d dans le récipient de gauche) oit lasuriencu à no$ ,\!5 + 3\testr10^{-12}$u deiigrenncu à no$ ,\!5 - 3\testr10^{-12}$ut qud8217;enveron $182$uss le mouleunard. l8217;est [6a>]

UnLloi du coznd nnombres pécist lertir lement imnre éptdoxe absp;: si àutes les monfiguration imicroscopiques dno la chme probabilité, mae évocraste donajoré. e lronfiguration imicaoscopiques dera be peu seès au cht li des matécules dans le récipient de gauche) . l8217;est

UnLnome prargunt sym8217;atoprlue soni2 8217;on nesubdivis e rdeux récipients.< pras pncu sempatirtests.

NoLmoldè d’eaEef=nft

LaJuse 8217;on cinous allns chnné nee co lmiption" istivee des &nre éstèmes bsp;: si ne lensidér ée ce nshyosion ases matécules da é ses snt d&#né, onns pas eèsoccdpene la renière plnt leles rent coboriv d dans le récipient de gauche) o de morrt l .iCte phrnmiption" i érmnie dis tovraests.ee copliqucion suiiveiireste dos &nre éptdoxe aqui dncilne du#8217;écolution o#système (d rent dno temps. CoIlym8217;atogide once 8217;atomreun,r le coldè d& pruant aumport o teplacentnt des macécules d.p>

Un pvers un o#amique, u moindè d&#rdeux récipients.< été fatroduit iear ex href="http://fr.wikipedia.org/wiki/LuTiveana_Afanaiersvaclass='spip_out' rel='external'>LuTiveanaa> Ea>]

class="coip">Noi>Damique, ucroscopiques spaontbsp;: unAeliuelleuné. e l&mps do(d ns d&liuellesecde e)on pote àauehastrdrl8217;une> il> > class="coip">Noi>Damique, ucaoscopiques spaontbsp;: unA&liuellesecde e,ym8217;at esy é$X$&lécules dans le récipient de garrt l ,ioneplacenteunlelécules e carrt l o nouche) oac $2obabilité. e$X/N$,a des suche) o nodrt l oac $2obabilité. e$1-X/N$.p>> il> >UnL deux as finition urent coquatiseurnt, porboem8217;at esy é$X$&lécules da nodrt l ,a dee celiuellelécules ea2e

UnC suen de parcessEn sim8217;atopra ounle href="http://fr.wikipedia.org/wiki/LuCha%C3%AEne_de_markovclass='spip_out' rel='external'>Lunhaî le paMarkova> liVci qu sencmatio lmoesabilité. &#moansfoion dans laqrcase ca83$alécules sbsp;?

p>Da diut jacile&nnt réveisat le 8217;explirience deec $206$oules de gl renière plivante dpan class="spip_note_ref"> [7a>] Noi>Matrienclspaontbsp;: unDx récipients.< (uen desaladrs j),n pefii peurd d,asux bses denumrerot d da(r exemple pas boules de gllitltrd),n petae d remburo dee érs elde partentr,e ce srciento dee rs e f/p>> il> > class="coip">Noi>Dreroement vspaontbsp;: unMte rdautes les moules de s le récipient de gauche) . Ltic les ru. UnTuver en boule denfes&npde t autaenumrerobsenanu,a rechte ne las réconient deete thacentruns le 8217;onfre fécipient. N Remmentacez/p>> il> >UnSi2 8217;on nete' e nombre de moules de s le récipient de garrt l e(vidàauedpartir)d rent dno temps. ,ionesenits.ee aphie p>Da valeriae de$X$&s eèène phauehastrdrsue p>Da véci qunanc&nnt re p>DaOnoit pee le thleriae de$X$&oprroe) oae ziphiiment delvaleur de$N/2pa(#8217;est

Unt-il que le thresnbuneon de probabilité d&#de$X$&(#8217;est p>DaC suphiedet queNoi> i> il> >UnOneatintedrae onceutesatat de né neptemps. $t+1$oac $2obabilité. e$(1/2)\testr(1/2)=1/4$/p>

Dans ceqrcase ca83$alécules sles transfoion ureusible dderment cos a fêter dan8217;une [8a>] p>Dans cet cascomiuelletat ina183$alsi unsLes éson dment de-dessus a m8217;atodart ons pafféules, maetemte rei&#soni2liuellenfiguration ina2e

Daneeisême prnière p,ym8217;at esy é$N$alécules, ,h dee celiuellenfiguration incroscopiques laisobabilité. e$1/2^N$,ela vevis dovit ror tous

UnSialéstèmes udmatirrdans unl8217;écot in toutes les molécules se o dans le récipient de gauche, etva-il pom8217;atoprroe) de lanteatat de 8217;écoatilib fbsp;? CePsseell.a vaulemeesubtité d&t que le combre de molécules da s le récipient de garrt l e traeuteurs. Hr lea asmps. r l ,h deimr lea asmps. imr l Courta s traps. eae ziznd nnmaléstèmes uvae oncecopier desue [9a>]

UnEcontics pn, co (Hbtesan8217;une

v class="d'cs_ockqs'>L8217;en fouventodavltzmann, dih4>>v class="d'ockqs_ lmngsion inockqs_iernble laockqs_slide' >Unus avvan imidvoir toe celéstèmes uaendance à éler ders des états plus probables, ce 8217;est Come esropra oleeitemunnecu& prurmodynamique, q#8217;une gound nr de$S$eaarel learsont fouventspaontendan élugnt e ro rent dno temps. onns pamais aldinute. Ailtzmann en néa2e Bo\[ S = k ~{\rmelog} W \]r class='autobr' /> Co to construte dos &obartemn anaté. e$k$a qujourd’hui&neaarel learsontnstrute dos <zmannsont.iCte phrmuléeif lerti lleur dnos sive eur lesthebe danuhysicien a/p>

iv> div> 3 class="spip">NoTps donlecipurntscenr3>

LaNs prorrvs d&in">nant auarder="esthes donneei vius prchttiv dsauedpartirbsp;: ls ystème (dse-il avvenir dans son état initial, du s unleel

UnLnoponse est eso, ap en imitemuna veua&boriv roac $2obabilité. e$1$Cn dit que cela nhaî le paMarkovst escipurntsth3i /oCte phobarrité faivalanuhitemue 8217;at esy éeLuMarc Kacr3 Ka>] Ide un la maessu.

, dih4>>v class="d'ockqs_ lmngsion inockqs_iernble laockqs_slide' >UnFixo un tlenfiguration in$X$.ir class='autobr' /> BoNoto le$n(Y)$e combre delyt edphis, ue le petcessEn sirnbltl’écot in$Y$esue

UnOvéritfieealorsne c,eutesacme l&$p on$n$et que [0'>10a>]

UnNs prslns chnplus quanla scimento lmo8p(Y)$evr di$1$,assqu&#ea#8217;est

UnP exemple p,nns laqrcase système (d c $203$alécules sleous allns chvue ler class='autobr' /> Bo\[p(0)=1/8, \quad p(1)=3/8, \quad p(2)=3/8, \quad p(3)=1/8.\]r class='autobr' /> CoSi2 8217;on nerrd immme àlfiguration in récirentscen$X= pnous alvons dee cela nstrute dos &obartemn anaté. e$c$evr di$8$et ce oncer class='autobr' /> Bo\[n(0)=1, \quad n(1)=3, \quad n(2)=3, \quad n(3)=1.\]r class='autobr' /> Cola serignfiee’onlue BoLl&mps dolyt esue nt auein$0$)/p>

iv> div> p>DaAprlue s de qucisults & é thnfiguration in$X= pnolorse leutes les molécules se trouvent dans le récipient de gauche, Nous avons chvue 8217;on no#8217;échatilib f,e pe phnstguration i laisobabilité. e$1/2^N$Les tnoorme (dimrlue so oncee le émps dolyt esue Bo\[ T = 2^{6\testr10^{23}} \]er class='autobr' /> Bourta nfirtissro pe phplimse Bo\[ T = ( ^{10})^{6\testr 10^{22}}\sestq 10^{18\testr 10^{22}} \]er class='autobr' /> Bous avons chvuus quhr dies e combre de 8217;atogadro

UnIlon8217;est

No pvehesnoe de mabondissentsts.

Lat-il quldenithtte lui8217;unhesnoe dbsp;? CeP tous ti peitem. Raarelez-us o,escoldè d’eaEef=nft [1]

Ess dirticules a  []

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UnOvut japeert_ue le thsuéaon o#sylitltrdanirnulre rae essxcepmn ant o,ealorsne cela onu&rut eut qumyque : lléstèmes uvnbltl& rent dno temps. utesel ditats plusible dd,aac $2 même probabilité. Unl8217;estSia>]Sza>]utes li> ess monfiguration imicroscopiques dnpr demte rere pecportement esréversibles,,e ess-cesuffito lanearecig ders des énfiguration imi>molaoscopiques nt vspGa>]Va>]

NoBlesioaphie

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Un[E] hrne> ="E">a> CoP ul Eef=nft

Un[G] hrne> ="G">a> CoGiontenieloilavottibsp;; l& href="http://frdx.doirg/wi10.1007/BF02180143class='spip_out' rel='external'>LuErgiqu$ity,ncomble etil rveniibilitéyn eiltzmann, etJmniealnofiStiveiqucalnPsiqics 78 (1995),1571-1589.a href="http://fr.wiarxivrg/wiabs/nhao-dyn/9403004class='spip_out' rel='external'>LuPponubqucion sa>

Un[K] hrne> ="K">a> CoMark Kacbsp;; l& href="http://frw.yocs.fsu.edu/~maalegni/Kac_AMM_1947.pdfclass='spip_out' rel='external'>LuRd nom Walk d nourmnTheo ynofiBrownean Moon sa>

Un[Si] hrne> ="Sic>a> CoNá nor Simá yibsp;; l& href="http://frdx.doirg/wi10.1007/s00222-009-0182-xclass='spip_out' rel='external'>LuCdisson salnobaofiofiurmnltzmann, etIirtnon, deMhéetiqucae 177 (2009) 381-413.a href="http://fr.wiarxivrg/wiabs/thé/0605358class='spip_out' rel='external'>LuPponubqucion sa>

Un[Sz] hrne> ="Szc>a> CoDomokos Szaszbsp;; l& href="http://frw.yoth.iverie.ac.at/~esiprpr/esi098.pdfclass='spip_out' rel='external'>LuBomann, etStuctr Sen a nariumeMhéetiqucarumeHungarica (Budarsst) 31 (1996) 299-322Op>

Un[V] hrne> ="Vc>a> CoCscric Vitltnibsp;; l& href="http://frw.yobmnibhiey.fr/vitltni.pdfclass='spip_out' rel='external'>Lu(Ir)versibilité so en iouventsp, etrhref="http://frw.yobmnibhiey.fr/decere d2010.ml" class="bpip_not' rel='external'>LuSémiires<1Pncaré]< (2010), 17-75Op>

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