Novembre 2014, 1er défi

Le 7 novembre 2014 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 45 :

Un voleur veut trouver la combinaison du coffre-fort et a l’information suivante : la combinaison forme un nombre pair de $5$ chiffres ; seul un des chiffres est impair ; la combinaison a $4$ chiffres différents, le chiffre répété est pair et apparaît à des positions non consécutives.
Combien de combinaisons le voleur doit-il essayer pour être sûr d’ouvrir le coffre ?

Solution du 5ème défi d’Octobre

Enoncé

La réponse est $~n=9$.

Si $~n=3k\pm 1$ alors

$n^2+2=(3k\pm 1)^2+2=9k^2\pm 6k+1+2=3(3k^2\pm 2k+1),$

qui n’est pas un nombre premier. Donc, $n$ doit être de la forme $3k$ pour que $n^2+2=9k^2+2$ soit un nombre premier. Si $k=1$ on obtient $n=3$ ; si $k=2$ alors $(9\cdot 4)+2=38$ qui n’est pas premier. Si $k=3$, on a $n= 9$ et $9^2+2=83$ et $9^2-2=79$ sont tous les deux des nombres premiers.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Novembre, 1er défi

le 7 novembre 2014 à 07:53, par André Perrenoud

Bonjour,

J’arrive à 5400 possibilités.

Le raisonnement est le suivant :

5 manières de choisir un chiffre impair ;

10 combinaisons de 3 chiffres pairs différents.

En suite pour un 1 chiffre impair et 4 chiffres pairs, par exemple 1, 2, 2, 4, 6, sans 2 chiffres 2 consécutifs
il y a :

6 possibilités commençant par 1 ;

8 possibilités ou le 1 est en 2ème place ;

8 possibilités avec le 1 au milieu ;

8 possibilités avec le 1 en 4ème place ;

6 possibilités ave le 1 en dernier.

Donc 36 possibilités en tout.

Idem pour 4 et 6
Donc au total :

5*10*36*3=5400

Bonne chance au cambrioleur !
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Novembre, 1er défi

le 7 novembre 2014 à 08:05, par André Perrenoud

Oops, en relisant l’énoncé, la combinaison doit être un nombre pair.

Donc au final :

5*10*30*3=4500 possibilités.
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Novembre, 1er défi

le 7 novembre 2014 à 09:10, par Daniate

Bien que le dénombrement ne soit pas ma tasse de thé, j’arrive au même résultat par une méthode différente.

Structure :
J’appelle a le pair répété, b et c les 2 autres avec b toujours avant c, i est l’impair. Je commence par placer a,b et c puis j’intercale i . Il y a 6 façons de placer 2 fois a sur 4 places dont 3 avec 2 a consécutifs et obligation de coincer i entre eux, dans les 3 autres cas, i a 4 places soit 15 structures différentes

Valeurs :
i et a ont 5 valeurs possibles, b 4 et c 3 soit 300 valeurs possibles

Total : 15*300=4500 possibilités.
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