Un défi par semaine

Novembre 2015, 1er défi

Le 6 novembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 45 :

Trouver tous les nombres strictement positifs $x$ qui satisfont l’équation

$\sqrt{x^x}=x^{\sqrt{x}}.$

Solution du 5e défi de Octobre :

Enoncé

La réponse est $5$ cm.

Plaçons sur le segment $[AC]$ le point $P$ tel que $CD=CP$ et $AP=BC$. Dans le triangle $DPC$ nous avons $CD = CP$ et $\widehat{PCD} = 60^{\circ}$, ce qui implique que $DPC$ est équilatéral.

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En outre, $\widehat{APD} = \widehat{BCD} = 120^{\circ}$, donc les triangles $APD$ et $BCD$ sont superposables, ce qui entraîne $BD = AD = 5$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2015, 1er défi

    le 6 novembre 2015 à 08:24, par zgreudz

    Je trouve 1 et 4

    Répondre à ce message
    • Novembre 2015, 1er défi

      le 7 novembre 2015 à 14:32, par Jean-Pierre CITTANOVA

      Moi aussi j’ai trouvé 1 et 4 .........strictement positifs.
      JPC

      Répondre à ce message
  • Novembre 2015, 1er défi

    le 7 novembre 2015 à 18:02, par Jérôme

    En voyant la tête de l’équation, je me dis que je vais passer par les logarithmes.
    Tout d’abord, en changeant la notation, on a :
    $x^{x/2} = x^{x^{1/2}}$

    On peut prendre le logarithme des deux côtés :
    $\ln(x^{x/2}) = \ln(x^{x^{1/2}})$
    $\frac{x}{2} \ln(x) = x^{1/2} \ln(x)$

    Si x = 1, on trouve zéro des deux côtés, donc 1 est une solution (solution que l’on aurait pu voir facilement dès le début). Si x est différent de 1, nous avons :
    $\frac{x}{2} = x^{1/2}$
    $\frac{x}{2} - x^{1/2} = 0$

    En revenant à la notation avec les racines :
    $\sqrt{x} (\frac{\sqrt{x}}{2} - 1) = 0$

    Une solution est x = 0. Si x est différent de 0, nous avons :
    $\frac{\sqrt{x}}{2} - 1 = 0$
    $\sqrt{x} = 2$
    $x = 4$

    Donc les nombres strictement positifs qui sont solutions de l’équation sont 1 et 4.

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  • Novembre 2015, 1er défi

    le 9 novembre 2015 à 20:31, par FredM

    On peut aussi élever au carré :
    x^x= x^(2*√x)
    soit x=1 et alors... x=1
    soit x<>1 et cette égalité est vérifiée ssi x=2*√x, c’est à dire x=4

    Au fait comment faites vous pour insérer des formules ?

    Répondre à ce message

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