Un défi par semaine

Novembre 2015, 2e défi

Le 13 novembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 46 :

Est-il possible de placer un nombre dans chaque case de la grille de façon que la somme des nombres dans chaque colonne, chaque ligne et les deux diagonales soit la même ?

PNG - 17.1 ko

Solution du 1er défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $x=1$ et $x=4$.

Clairement, $x=1$ est une solution. Pour trouver les autres solutions, on réécrit l’équation en $x^{\frac{x}{2}}=x^{\sqrt{x}}$, qui implique $\frac{x}{2}=\sqrt{x}$ si $x\neq 1$. En élevant au carré, on obtient $x^2=4x$, soit $x(x-4)=0$, dont la seule solution positive est $x=4$.

Par conséquent, toutes les solutions sont $x=1$ et $x=4$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2015, 2e défi

    le 13 novembre 2015 à 08:41, par ROUX

    5 inconnues mais 3 lignes, 3 colonnes et 2 diagonales, soient 8 équations : ouch...
    L1 : a-3+20=S ou a=S-17.
    C1 : a+2+b=S ou S-17+2+b=S ou b=15.
    Dbashaut : b+c+20=S ou 15+c+20=S ou c=S-35.
    C2 : 3+c+d=S ou 335+d=S ou d=32.
    L3 : b+d+f=S ou 15+32+f=S ou f=S-47.
    C3 : 20+e+f=S ou 20+e47=S ou e=27.
    L2 : 2+c+e=S ou 2+c+27=S ou c=S-29.
    C ne peut pas être égal à la fois à S-35 et S-29.

    Mais j’attends une belle analyse de ce problème par Daniate car, moi, là, j’ai quand même pas mal bouriné !

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    • Novembre 2015, 2e défi

      le 13 novembre 2015 à 10:28, par Daniate

      Une petite erreur s’est glissée dans vos calculs.

      C2 : - 3 + c + d = S d’où - 3 + S - 35 + d = S puis d = 38

      Vous verrez alors que le carré magique est possible.

      Une analyse basée sur les espaces vectoriels permet de prouver la constructibilité.

      Les carrés magiques 3 par 3 forment un sous e.v. de dimension 3 des matrices 3 par 3. Il suffit donc d’exhiber une bases permettant de les écrire tous.
      Compte tenu du problème posé et avec un peu de calculs on utilise les matrices A, B et C suivantes (écrite en ligne mais il faut les remettre en 3 colonnes )

      A = 0.5 1 0 ; 0 0.5 1 ; 1 0 0.5
      B = 2 0 1 ; 0 1 2 ; 1 2 0
      C = - 1.5 0 0 ; 1 - 05 -2 ; - 1 - 1 0.5

      Il ne reste plus qu’à calculer (Excel le fait très bien) - 3 A + 20 B + 2 C

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      • Novembre 2015, 2e défi

        le 13 novembre 2015 à 15:48, par mesmaker

        Bien qu’il y ait une erreur dans le calcul précédent, le résultat qualitativement est le même à la fin ; on tombe sur une absurdité qui est du type 53 = 105 dans mon cas. On a affaire ici à une série d’équations linéaires à 7 inconnues (les six cases plus la somme) avec 8 contraintes. Il ne semble pas qu’il y ait automatiquement une solution. Pourtant votre raisonnement semble le laisser croire. Il y a quelque chose qui m’échappe. Pouvez vous clairement donner la ou les solutions de ce carré magique ainsi les choses seront fixées ?

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        • Novembre 2015, 2e défi

          le 13 novembre 2015 à 16:04, par amic

          On peut l’écrire, en fixant x en haut à droite et résolvant pas à pas, la somme devant être 17+x :

          x | -3 | 20

          2 |x-18|33

          15|38|x-36

          La somme de la diagonale doit être x+17, on obtient donc 3x-54=x+17, soit x=71/2.

          Pour l’erreur de raisonnement, elle est dans le fait qu’on a 8 équations pour 7 inconnues, mais on a également une relation supplémentaire qui fait qu’une des équation est redondante : la somme des neuf nombres est égale d’une part à la somme des lignes, et d’autre part à la somme des colonnes. Donc si chaque ligne a la même somme, et les deux premières colonnes aussi, on peut en déduire gratuitement que la troisième colonne aussi.

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          • Novembre 2015, 2e défi

            le 13 novembre 2015 à 16:38, par mesmaker

            Au temps pour moi, j’avais aussi fait une erreur de calcul. Je trouve bien que la somme des lignes, des colonnes et des diagonales fait 52.5. De plus les 8 équations ne sont bien évidemment pas indépendantes, j’ai été trop pressé. Merci.

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      • Novembre 2015, 2e défi

        le 13 novembre 2015 à 18:02, par ROUX

        Merci !
        Avec +3 à la place de -3, j’ai exhibé un carré impossible.
        Comment pourriez-vous venir sur le calcul de la base de matrice pour prouver que cet autre carré est impossible ? Autrement dit, comment calcule-t-on une telle base de matrice ?

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        • Novembre 2015, 2e défi

          le 13 novembre 2015 à 19:08, par Daniate

          Bonsoir, tout d’abord on remplace les 3 cases connues ( -3 ; 20 ; 2) l’une par 1 les autres par 0. On donne à la case en haut et à gauche la valeur x qui permet de compléter le carré de proche en proche avec 3 lignes, 3 colonnes et une diagonale correctes (somme x + 1 pour A et B et x pour C). La deuxième diagonale permet d’écrire une équation qui donne la valeur de x.

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