Novembre 2015, 2e défi

El 13 noviembre 2015 - Escrito por Ana Rechtman Ver los comentarios (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 46 :

Est-il possible de placer un nombre dans chaque case de la grille de façon que la somme des nombres dans chaque colonne, chaque ligne et les deux diagonales soit la même ?

Solution du 1er défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $x=1$ et $x=4$.

Clairement, $x=1$ est une solution. Pour trouver les autres solutions, on réécrit l’équation en $x^{\frac{x}{2}}=x^{\sqrt{x}}$, qui implique $\frac{x}{2}=\sqrt{x}$ si $x\neq 1$. En élevant au carré, on obtient $x^2=4x$, soit $x(x-4)=0$, dont la seule solution positive est $x=4$.

Par conséquent, toutes les solutions sont $x=1$ et $x=4$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Novembre 2015, 2e défi

le 13 de noviembre de 2015 à 16:04, par amic

On peut l’écrire, en fixant x en haut à droite et résolvant pas à pas, la somme devant être 17+x :

x | -3 | 20

2 |x-18|33

15|38|x-36

La somme de la diagonale doit être x+17, on obtient donc 3x-54=x+17, soit x=71/2.

Pour l’erreur de raisonnement, elle est dans le fait qu’on a 8 équations pour 7 inconnues, mais on a également une relation supplémentaire qui fait qu’une des équation est redondante : la somme des neuf nombres est égale d’une part à la somme des lignes, et d’autre part à la somme des colonnes. Donc si chaque ligne a la même somme, et les deux premières colonnes aussi, on peut en déduire gratuitement que la troisième colonne aussi.
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Ana Rechtman

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