Novembre 2015, 2e défi

Le 13 novembre 2015 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 46 :

Est-il possible de placer un nombre dans chaque case de la grille de façon que la somme des nombres dans chaque colonne, chaque ligne et les deux diagonales soit la même ?

Solution du 1er défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $x=1$ et $x=4$.

Clairement, $x=1$ est une solution. Pour trouver les autres solutions, on réécrit l’équation en $x^{\frac{x}{2}}=x^{\sqrt{x}}$, qui implique $\frac{x}{2}=\sqrt{x}$ si $x\neq 1$. En élevant au carré, on obtient $x^2=4x$, soit $x(x-4)=0$, dont la seule solution positive est $x=4$.

Par conséquent, toutes les solutions sont $x=1$ et $x=4$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Novembre 2015, 2e défi

le 13 novembre 2015 à 10:28, par Daniate

Une petite erreur s’est glissée dans vos calculs.

C2 : - 3 + c + d = S d’où - 3 + S - 35 + d = S puis d = 38

Vous verrez alors que le carré magique est possible.

Une analyse basée sur les espaces vectoriels permet de prouver la constructibilité.

Les carrés magiques 3 par 3 forment un sous e.v. de dimension 3 des matrices 3 par 3. Il suffit donc d’exhiber une bases permettant de les écrire tous.
Compte tenu du problème posé et avec un peu de calculs on utilise les matrices A, B et C suivantes (écrite en ligne mais il faut les remettre en 3 colonnes )

A = 0.5 1 0 ; 0 0.5 1 ; 1 0 0.5
B = 2 0 1 ; 0 1 2 ; 1 2 0
C = - 1.5 0 0 ; 1 - 05 -2 ; - 1 - 1 0.5

Il ne reste plus qu’à calculer (Excel le fait très bien) - 3 A + 20 B + 2 C
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