Un défi par semaine

Novembre 2015, 3e défi

Le 20 novembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (18)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

En échangeant les chiffres des unités et des dizaines, les résultats des multiplications suivantes ne changent pas :

$ 12\times 42 = 21 \times 24=504$

$ 24\times 84 = 42 \times 48=2\,016.$

Est-il possible de trouver trois autres multiplications ayant cette propriété.

Solution du 2e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est oui.

Soient $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ les nombres placés comme dans la figure ci-dessous.

PNG - 22.2 ko

Comme la somme des nombres dans la première ligne est égale à la somme des nombres dans la première colonne, nous avons

$a-3+20=a+2+d,$

d’où $d=15$. En regardant une des diagonales et la deuxième ligne nous obtenons $20+b+15=2+b+c$, d’où $c=33$. Finalement, en utilisant la somme des nombres dans la dernière ligne et la dernière colonne, nous obtenons $15+e+f=20+33+f$, d’où $e=38$.

Calculons les valeurs de $a$ et $f$ en termes de $b$. En utilisant la première colonne, la deuxième ligne et la dernière colonne, nous avons

$a+2+15=2+b+33=20+33+f.$

De la première égalité nous déduisons que $a=b+18$ et de la deuxième que $f=b-18$. En calculant la somme des nombres sur la diagonale que nous n’avons pas encore utilisée nous obtenons $3b=b+35$ et $b=17{,}5$. Nous pouvons maintenant remplir le carré :

PNG - 58.5 ko
Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2015, 3e défi

    le 20 novembre 2015 à 09:15, par mesmaker

    Oui il en existe d’autres, par exemple 31*39 = 13*93 = 1209.

    Si on écrit les nombres sous la forme ab*cd = (a*10+d)*(c*10+d).
    On veut que cela soit égale à ba*dc = (b*10+a)*(d*10+c)
    En développant on trouve que ac*100+(ad+bc)*10+bd = bd*100+(ad+bc)*10+ac.
    Il suffit donc que ac = bd pour que les deux multiplications soient identiques.
    Il est même nécessaires que ac = bd sinon le chiffre des unités ne serait pas le même.

    Exemples : 41*28 = 14*82 = 1148, 23*64 = 32*46 = 1472, etc.

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  • Novembre 2015, 3e défi

    le 20 novembre 2015 à 09:16, par ROUX

    Un nombre avec truc dizaines et bidule unités s’écrit truc fois 10 plus bidule fois 1.
    On est clairement invité à écrire (10a + b)*(10c + d)=(10b + a)*(10d + c).
    On développe et on tombe sur ac=bd.
    L’instant mathématique est fini quand on écrit qu’il suffit maintenant d’aller dans nos chères tables de multiplication, celles de 2 à 9, et de chercher les nombres qui apparaissent dans deux tables différentes.
    Par exemple, Ana laisse libre 24. Or, 24=8*3=6*4.
    Il vient alors 86*34=68*43=2924.
    La recherche exhaustive des autres couples relève de la plomberie des calculs, l’instant mathématique joyeux, légèrement irrationnel est passé...

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  • Novembre 2015, 3e défi

    le 20 novembre 2015 à 09:23, par ROUX

    Ah...
    Quand même...
    Le jeu est peut-être plus subtil et peut donner lieu à d’autres instants mathématiques si on se pose la question du nombre total...
    Car, avec 24, on peut écrire 3*8=6*4 ce qui conduit de fait à 36*84=63*48=3024...
    Hum...
    Mais, là-dedans, je suis nul ;) !
    Daniate ?

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    • Novembre 2015, 3e défi

      le 20 novembre 2015 à 10:31, par B !gre

      Sur ce genre de petits problèmes « faciles », un logiciel comme SageMath (ou plus simplement Python) permet de faire une recherche exhaustive. Si on enlève les cas triviaux (les multiplications par 0, les égalités du type 23*32 = 32*23, etc.), on trouve 28 solutions en tout ! Donc 26 de plus que celles données dans l’énoncé.

      Exemple de code pour trouver les solutions :

      sage : def inv(p) :
      .... : return (p%10)*10 + p//10
      .... :
      sage : L = [(p,q) for p in (10..99) for q in (p+1..99) if p*q == inv(p)*inv(q) and inv(p) != p and inv(q) != q and inv(p) != q]

      Explications : La fonction inv(p) calcule le nombre obtenu à partir de p en inversant les unités et les dizaines. La notation p%10 est le nombre p modulo 10, c’est-à-dire le chiffre des unités, et p//10 est le quotient dans la division euclidienne de p par 10, donc le chiffre des dizaines. Ensuite, la liste L contient tous les couples (p,q) avec 10≤ p < q ≤ 99 (on part de 10 pour avoir des nombres qui ont vraiment deux chiffres) tels que l’égalité qu’on souhaite est vérifiée (« if p*q == inv(p) * inv(q) »). La suite de la partie « if ... » permet d’éliminer les cas triviaux comme p (ou q) égal à inv(p), ou p = inv(q).

      Je comprends que pour beaucoup ici, cette méthode n’est pas aussi satisfaisante que trouver des arguments mathématiques, mais je pense que c’est une approche qui est utilisée par de plus en plus de mathématiciens de nos jours : programmer un petit algorithme pour « voir ce qu’il se passe », avant de chercher l’explication au phénomène. Je le fais assez systématiquement sur les défis mathématiques, et je trouve que c’est une démarche amusante.

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      • Novembre 2015, 3e défi

        le 20 novembre 2015 à 18:08, par Daniate

        Bonjour,

        Vous trouvez 2 fois plus de solutions que moi donc je suppose que vos logiciels trouvent à la fois 12*42 et 42*12 qui sont la même solution. Un if plus complet devrait vous permettre de faire disparaître les doublons. Ceci dit je vais essayer de me procurer un de vos logiciels s’ils sont gratuits.

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    • Novembre 2015, 3e défi

      le 20 novembre 2015 à 15:34, par Daniate

      Bonjour,

      24 conduit aussi à 34*86 = 43*68 = 34*2*43

      En tout, il y a 15 solutions possibles si on néglige les évidences 11*11 ou 12*21 ( calculs fait main) . Je suis amusé à chercher une solution à 3 puis 4 chiffres, c’est possible mais la recherche du nombre de solutions reste à faire (les logiciels le feront mieux que moi). J’ignore s’il existe des solutions pour plus de chiffres. C’est probable.

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      • Novembre 2015, 3e défi

        le 20 novembre 2015 à 15:54, par Daniate

        Errata, en fait je ne trouve que 14 solutions. 4 carrés parfaits à une seule solution et 5 autres produits à deux solutions.

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        • Novembre 2015, 3e défi

          le 20 novembre 2015 à 22:16, par Bernard Hanquez

          Bonjour,

          La réponse à la question posée est « Oui ».

          Je pars du principe que les nombres à multiplier ont deux chiffres significatifs (donc de 10 à 99).

          Une recherche exhaustive avec une macro Excel (voir code ci-dessous) me donne 109 solutions différentes, y compris les solutions dites « triviales » qui n’ont aucune raison d’être exclues.

          Les 109 solutions sont :

          11 * 11
          21 * 12
          22 * 11
          22 * 22
          24 * 21
          31 * 13
          31 * 26
          32 * 23
          33 * 11
          33 * 22
          33 * 33
          36 * 21
          39 * 31
          41 * 14
          41 * 28
          42 * 12
          42 * 24
          42 * 36
          43 * 34
          44 * 11
          44 * 22
          44 * 33
          44 * 44
          46 * 32
          48 * 21
          48 * 42
          51 * 15
          52 * 25
          53 * 35
          54 * 45
          55 * 11
          55 * 22
          55 * 33
          55 * 44
          55 * 55
          61 * 16
          62 * 13
          62 * 26
          62 * 39
          63 * 12
          63 * 24
          63 * 36
          63 * 48
          64 * 23
          64 * 46
          65 * 56
          66 * 11
          66 * 22
          66 * 33
          66 * 44
          66 * 55
          66 * 66
          68 * 43
          69 * 32
          69 * 64
          71 * 17
          72 * 27
          73 * 37
          74 * 47
          75 * 57
          76 * 67
          77 * 11
          77 * 22
          77 * 33
          77 * 44
          77 * 55
          77 * 66
          77 * 77
          81 * 18
          82 * 14
          82 * 28
          83 * 38
          84 * 12
          84 * 24
          84 * 36
          84 * 48
          85 * 58
          86 * 34
          86 * 68
          87 * 78
          88 * 11
          88 * 22
          88 * 33
          88 * 44
          88 * 55
          88 * 66
          88 * 77
          88 * 88
          91 * 19
          92 * 29
          93 * 13
          93 * 26
          93 * 39
          94 * 49
          95 * 59
          96 * 23
          96 * 46
          96 * 69
          97 * 79
          98 * 89
          99 * 11
          99 * 22
          99 * 33
          99 * 44
          99 * 55
          99 * 66
          99 * 77
          99 * 88
          99 * 99

          Le code de la macro Excel est le suivant

          Sub Macro1()
          Z = 1
          For I = 10 To 99
          For J = 10 To I
          K = I * J
          L = (Left(I, 1) + 10 * Right(I, 1)) * (Left(J, 1) + 10 * Right(J, 1))
          If I >= J Then
          If K = L Then
          Cells(Z, 1) = I & « * » & J
          Z = Z + 1
          End If
          End If
          Next J
          Next
          End Sub

          (les 109 solutions s’affichent dans la colonne « A »)

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          • Novembre 2015, 3e défi

            le 21 novembre 2015 à 22:12, par Daniate

            Bonjour,

            Je suis au regret de vous contredire : il n’y a que 95 solutions (14 non triviales, 45 de la forme aa*bb avec a>=b et 36 de la forme ab*ba avec a>b). En regardant votre liste, les cas non-triviaux se répètent , par exemple 24*21 se retrouve en 42*12. Pouvez- vous corriger votre macro pour qu’elle évite ces redondances, je m’en sens bien incapable.

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            • Novembre 2015, 3e défi

              le 22 novembre 2015 à 19:52, par Bernard Hanquez

              Bonjour,

              Il n’y a pas de regrets à avoir, bien au contraire.
              J’ai écrit ma macro un peu rapidement sans réfléchir aux cas de répétitions.
              Pour essayer de les repérer j’ai modifié un peu l’algorithme en espérant que cela soit bon !

              Pour chaque paire I, J possible dont les produits avant et après inversion des chiffres sont égaux : on calcule une « empreinte » égale à 100 x I x J plus la somme des 4 chiffres de I et J

              On obtient une liste de 418 éléments, on la trie sur l’empreinte et on élimine les doubles.

              Il reste 95 couples I * J

              11 * 11
              11 * 22
              12 * 21
              11 * 33
              13 * 31
              22 * 22
              11 * 44
              12 * 42
              14 * 41
              11 * 55
              22 * 33
              11 * 66
              23 * 32
              12 * 63
              15 * 51
              13 * 62
              11 * 77
              22 * 44
              11 * 88
              16 * 61
              24 * 42
              12 * 84
              33 * 33
              11 * 99
              14 * 82
              17 * 71
              13 * 93
              22 * 55
              25 * 52
              33 * 44
              22 * 66
              18 * 81
              34 * 43
              23 * 64
              24 * 63
              26 * 62
              22 * 77
              19 * 91
              33 * 55
              35 * 53
              44 * 44
              22 * 88
              27 * 72
              24 * 84
              33 * 66
              22 * 99
              23 * 96
              36 * 63
              28 * 82
              26 * 93
              44 * 55
              45 * 54
              33 * 77
              29 * 92
              37 * 73
              44 * 66
              33 * 88
              34 * 86
              46 * 64
              36 * 84
              55 * 55
              38 * 83
              33 * 99
              44 * 77
              47 * 74
              39 * 93
              55 * 66
              56 * 65
              44 * 88
              48 * 84
              55 * 77
              57 * 75
              66 * 66
              44 * 99
              46 * 96
              49 * 94
              55 * 88
              58 * 85
              66 * 77
              67 * 76
              55 * 99
              59 * 95
              66 * 88
              68 * 86
              77 * 77
              66 * 99
              69 * 96
              77 * 88
              78 * 87
              77 * 99
              79 * 97
              88 * 88
              88 * 99
              89 * 98
              99 * 99

              Le code de la macro

              Nota : la mise en forme du site supprime l’indentation et remplace les double-quotes par des guillemets << >>

              Sub Macro1()
              Z = 1
              For I = 10 To 99 ’ Pour I variant de 10 à 99
              For J = 10 To 99 ’ Pour J variant de 10 à 99
              I2 = Left(I, 1) + 10 * Right(I, 1) ’ Inverser les chiffres de I dans I2
              J2 = Left(J, 1) + 10 * Right(J, 1) ’ Inverser les chiffres de J dans J2
              If I * J = I2 * J2 Then ’ Si les deux produits sont égaux
              Cells(Z, 1) = I & « * » & J ’ Mettre I * J dans la colonne 1
              Cells(Z, 2) = 100 * I * J + I + J + I2 + J2 ’ Mettre l’empreinte dans la colonne 2
              Z = Z + 1 ’ Ligne suivante
              Cells(Z, 1) = I2 & « * » & J2 ’ Mettre I2 * J2 dans la colonne 1
              Cells(Z, 2) = 100 * I2 * J2 + I + J + I2 + J2 ’ Mettre l’empreinte dans la colonne 2
              Z = Z + 1
              End If
              Next J ’ Valeur suivante de J
              Next I ’ Valeur suivante de I
              ’ ================================== Trier le résultat sur l’empreinte

              ActiveWorkbook.Worksheets(« Feuil1 »).Sort.SortFields.Clear
              ActiveWorkbook.Worksheets(« Feuil1 »).Sort.SortFields.Add Key :=Range(« B1:B418 ») _
              , SortOn :=xlSortOnValues, Order :=xlAscending, DataOption :=xlSortNormal
              With ActiveWorkbook.Worksheets(« Feuil1 »).Sort
              .SetRange Range(« A1:B418 »)
              .Header = xlNo
              .MatchCase = False
              .Orientation = xlTopToBottom
              .SortMethod = xlPinYin
              .Apply
              End With

              I = 2
              ’ ================================ Examiner la liste triée
              While Cells(I, 1) <> «  » ’ Pour chaque ligne non vide
              If Cells(I, 2) = Cells(I - 1, 2) Then ’ Si l’empreinte est égale à celle de la ligne précédente
              Rows(I).Select ’ Supprimer la ligne
              Selection.Delete Shift :=xlUp
              I = I - 1
              End If
              I = I + 1 ’ Ligne suivante
              Wend
              End Sub

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              • Novembre 2015, 3e défi

                le 24 novembre 2015 à 13:35, par Daniate

                Bonjour
                En effet, pas de regrets à avoir, la coopération est nécessaire à toute progression. C’est pourquoi je vous signale, comme vous l’avez sans doute senti, que votre astucieuse « empreinte », si elle fonctionne pour les nombres à 2 chiffres ne fonctionne plus pour 3 chiffres. Par exemple 372*273 et 651*156 sont 2 solutions différentes qui donnent la même empreinte. En utilisant une version modifiée de votre macro j’ ai même trouvé 21 autres couples mais aucun formé de solutions non-triviales. Est-ce possible avec plus de chiffres ?

                Répondre à ce message
                • Novembre 2015, 3e défi

                  le 24 novembre 2015 à 14:33, par Bernard Hanquez

                  Bonjour,

                  Il est vrai que j’ai choisi mon « empreinte » par tâtonnement de manière à trouver les solutions tout en ne compliquant pas trop les calculs.

                  Après réflexion j’ai modifié cette « empreinte » pour qu’elle soit unique.

                  Elle se présente sous la forme de 8 chiffres : abcdxxxx
                  a, b, c et d sont les 4 chiffres des deux nombres à multiplier, triés en ordre croissant
                  xxxx est le produit des deux nombres (complété avec des zéros à gauche pour avoir 4 chiffres). Par exemple l’empreinte de 13x62 est 12360806

                  Je pense que pour des nombres à trois chiffres il suffit de créer une empreinte de 12 chiffres sur le même principe : abcdefxxxxxx.

                  Je vais essayer de modifier ma macro pour tester cela et même l’étendre au cas général de deux nombres à n chiffres (mais j’ai peur que la macro soit très longue à exécuter).

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                  • Novembre 2015, 3e défi

                    le 24 novembre 2015 à 15:24, par Daniate

                    Re bonjour,

                    La probabilité que deux solutions à n chiffres donnent le même produit avec les mêmes chiffres dans un autre ordre est très faible, peut être nulle, mais pourra-t-on un jour avoir une certitude ?

                    Répondre à ce message
                    • solutions à n chiffres ?

                      le 26 novembre 2015 à 16:39, par Erwan Saint Loubert Bié

                      Au moins dans certains cas, il y a des solutions avec des nombres quelconques de chiffres.
                      Fixons une permutation $s$ quelconque pour l’ordre des chiffres, et notons $r$ sa réciproque.
                      Soit $x=a_1...a_n$, nombre composé des $n$ chiffres $a_1$ à $a_n$, choisis entre 0 et 4. Notons $s(x)=a_{s(1)}...a_{s(n)}$, $b_i=2*a_i$, et soit $y$ le nombre s’écrivant avec les chiffres $b_1$ à $b_n$, dans cet ordre.
                      Par construction, on a l’égalité $x s(y)=y s(x)$, car $y=2*x$ et $s(y)=2*s(x)$.
                      Ceci donne donc une solution pour un choix de permutation sous cette forme. Si $s$ est d’ordre 2 (produit de transpositions de supports disjoints), alors $s=r$, et on a, pour $y'=s(y)$ l’égalité : $xy'=s(y')s(x)$. Sinon, on peut peut-être choisir les chiffres de manière que $s(s(y))=y$, par exemple avec 5 chiffres et la permutation (3 ;4 ;5 ;2 ;1), on a :
                      $21242*48424=24212*42484=1 028 622 608$.
                      Désolé d’avoir été si long....

                      Répondre à ce message
                      • solutions à n chiffres ?

                        le 26 novembre 2015 à 21:56, par Daniate

                        Bonsoir,

                        Remarquable démonstration. En reprenant les 14 solutions à deux chiffres, elles peuvent être construites par votre méthode, naturellement par la substitution (2 ;1), éventuellement en modifiant le coefficient 2 par 3 ou 4, voire 3/2 ou 3/4.

                        Répondre à ce message
                  • Novembre 2015, 3e défi

                    le 26 novembre 2015 à 17:36, par Daniate

                    Bonjour, comme je le craignais à l’aide d’une variation de votre macro j’ai trouvé deux solutions à 4 chiffres qui ont la même empreinte (4221 ;2448) et (4284 ; 2412).

                    Répondre à ce message
                    • Novembre 2015, 3e défi

                      le 26 novembre 2015 à 18:02, par Bernard Hanquez

                      Bonjour,
                      Tout le problème avec ce type de recherche est de trouver une empreinte efficace.
                      Pour ma part j’ai abandonné l’idée de généraliser la macro (mon vieux Mac n’est pas assez rapide).

                      Répondre à ce message
  • Novembre 2015, 3e défi

    le 22 novembre 2015 à 20:35, par sofiane

    (a*10+b)*(c*10+d)=(b*10+a)*(d*10+c)
    après le développement de cette formule on aura à la fin la formule suivante :
    a*c=b*d
    donc il suffit de trouver les possibilités qui vérifies la formule précédente
    si on suppose que a ,b, c, et d varie entre 1et 10 on aura les possibilités suivantes/
    a c b d
    4 4 2 8
    3 4 6 2
    3 3 9 1
    4 2 8 1
    6 6 9 4
    8 3 6 4

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