Un défi par semaine

Novembre 2015, 4e défi

27 novembre 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (16)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 48 :

On considère les $120$ nombres à quatre chiffres distincts formés uniquement à l’aide des chiffres $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$. La somme de ces $120$ nombres donne un résultat $S$. Calculer la somme des chiffres de $S$.

Solution du 3e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est oui.

Considérons deux nombres à deux chiffres $ab$ et $cd$, avec $a$, $b$, $c$ et $d$ leurs chiffres. Leur produit vaut alors

$(10a+b)\times(10c+d)=100ac+10(bc+ad)+bd.$

En échangeant les chiffres des unités et des dizaines, ces nombres deviennent $ba$ et $dc$. Leur produit devient

$(10b+a)\times(10d+c)=100bd+10(bc+ad)+ac.$

La propriété demandée est satisfaite si on a $bd = ac$. Il est alors facile de trouver de tels nombres, par exemple $a=1, b=2, c=6$ et $d=3$, ou bien $a=1, b=2, c=8$ et $d=4$, ou encore $a=1, b=3, c=9$ et $d=3$.
Cela donne les multiplications

$12\times 63 = 21 \times 36=756$

$12\times 84 = 21 \times 48=1\,008$

$13\times 93 = 31 \times 39=1\,209.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2015, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2015, 4e défi

    le 27 novembre 2015 à 07:56, par zgreudz

    J’ai trouvé 45 et j’ai triché mais le code est tellement simple avec Mathematica que je ne résiste pas à le mettre ici :
    Plus @@ IntegerDigits[
    Plus @@ FromDigits /@ Permutations[1, 2, 3, 4, 5]]

    A+

    Z.

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    • Novembre 2015, 4e défi

      le 27 novembre 2015 à 16:22, par Daniate

      Bonjour

      A l’évidence, votre algorithme calcule S pour des nombres à 5 chiffres. La réponse correcte pour les nombres à 4 chiffres est 36.

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      • Novembre 2015, 4e défi

        le 27 novembre 2015 à 16:29, par ROUX

        YES !!!
        Daniate nous a déjà départagé : nos messages sont arrivés à 16h22 tous les deux !
        Ou, plutôt, départition ;) !!!
        Séquence « émotion » : j’écrivais en communion avec Daniate !!!
        Honneur sur moi !!!

        Répondre à ce message
        • Novembre 2015, 4e défi

          le 27 novembre 2015 à 22:23, par zgreudz

          Au temps pour moi, j’ai lu l’énoncé trop vite : avec les 5 chiffres disponibles j’avais sauté directement à des nombres à 5 chiffres alors qu’on n’en demande que 4.

          Répondre à ce message
  • Novembre 2015, 4e défi

    le 27 novembre 2015 à 09:40, par gedspilett

    Imaginons de poser cette addition de 120 nombres de 4 chiffres « distincts » :

    Devant nous, 4 colonnes de 120 chiffres, chaque colonne aura pour total 360, car dans chaque colonne on trouvera 24 (120/5) fois le chiffre 5, 24 fois le chiffre 4, 24 fois le chiffre 3, 24 fois le chiffre 2, 24 fois le chiffre 1, soit 120+96+72+48+24=360

    Le total (avec le jeu des retenues) fera 399960=S

    La somme des chiffres de S fera 36

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    • Novembre 2015, 4e défi

      le 27 novembre 2015 à 13:13, par zgreudz

      Ne manque-il-pas un 9 ? La somme que je trouve est S=3999960

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      • Novembre 2015, 4e défi

        le 27 novembre 2015 à 13:35, par gedspilett

        Bonjour

        Quand je divise 399960 par 120 je trouve 3333, comme lorsque je fais la moyenne des deux nombres 1234 et 5432 qui sont respectivement le plus petit et le grand des « 120 » .
        Ce n’est pas une preuve, seulement un indice pour l’ordre de grandeur de S

        Répondre à ce message
    • Novembre 2015, 4e défi

      le 27 novembre 2015 à 16:22, par ROUX

      D’abord, vérifier qu’il y a 120 nombres.
      Je bloque un chiffre ; pour ce chiffre bloqué, j’ai 4 chiffres possibles puis pour chacun de ces deuxième chiffre bloqué, j’ai 3 chiffres possibles, etc.
      Et comme j’avais 5 chiffres possibles pour le premier chiffre bloqué, bon, bah, le total des chiffres est 5*4*3*2*1=120.
      Les 5 possibilités de quadruplets sont 1,2,3,4 ou 1,2,3,5, ou 1,2,4,5 ou 1,3,4,5 ou 2,3,4,5.
      Avec chaque quadruplet, on peut faire 24 nombres.
      Conjecture : chaque chiffre occupe 6 fois la même position dans des nombres faits avec le même quadruplet.
      Pour le premier quadruplet, on a alors pour les unités : 6*1+6*2+6*3+6*4.
      Pour le deuxième quadruplet, on a alors pour les unités 6*1+6*2+6*3+6*5.
      On voit alors arriver que la sommes des unités pour tous les 120 nombres des quatre quadruplets est 4*6*(1+2+3+4+5) = 360.
      Il en va de même pour les dizaines, les centaines et les milliers donc la somme S des 120 nombres est égale à 360*(1+10+100+1000)=360*1111.
      La somme des chiffres de S est égale à la somme des chiffres de S’=36*1111.
      Il se trouve, par chance, c’est comme ça, que 3+6=9.
      Donc les chiffres de S’ en partant de l’unité sont 6, 9, 9, 9 et 3.
      Leur somme vaut alors 4*9=36.
      36 !?
      Je ne trouve pas 45 et je ne vois pas mon erreur et/ou la leurs...
      Daniate nous départagera ;) !

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      • Novembre 2015, 4e défi

        le 27 novembre 2015 à 16:26, par ROUX

        Euh...
        Est-ce que par hasard j’ai établi qu’il y a 120 nombres différents à 5 chiffres (5*4*3*2*1=120) et qu’il y a aussi 120 nombres différents à 4 chiffres (5*4*3*2=120) ?
        Oups...

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      • Novembre 2015, 4e défi

        le 27 novembre 2015 à 16:29, par Daniate

        Bonjour

        Je n’avais pas remarqué votre message. Bien que votre calcul soit un peu alambiqué (normal pour un physicien sans doute un peu chimiste), il est correct. Le nombre 45 s’obtient avec des nombres à 5 chiffres.

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        • Novembre 2015, 4e défi

          le 27 novembre 2015 à 16:35, par ROUX

          Ha ha ha !!!
          Physicien fondamental expérimentateur 9 ans devenu il y a 10 ans un peu chimiste après avoir été physicien appliqué (moteurs électriques, électronique de puissance) 12 ans :)...
          Le caractère alambiqué du calcul est que je souhaitais avoir l’impression de distiller des mathématiques en calculant la somme des chiffres de SANS CALCULER S...
          Au plaisir de vous lire à nouveau !

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  • Novembre 2015, 4e défi

    le 27 novembre 2015 à 14:44, par mesmaker

    Première preuve :
    Soit la somme S = 12345+12354+12435+...54321
    Il y a 120 termes. Chaque terme peut être couplé avec un unique autre terme pour que la somme face 66666. Par exemple 12345+54321 = 66666 ou 52431+14235 = 66666.
    Donc cela donne 60 couples de somme 66666 donc une somme totale :
    S = 60*66666 = 3999960
    Donc la somme des chiffres de S vaut 45.

    Deuxième preuve incomplète :
    La somme des unités, dizaines, centaines, millier et dizaine de milliers donne le même résultat comme déjà vu dans un précédent message de gedspilett qui est 360. Le somme des chiffres de 360 vaut 3+6+0 = 9. Comme il y a cinq fois cette somme pour les unités, dizaines, ...dizaines de milliers, alors la somme total vaut 9*5 = 45. Il est donc inutile de connaître la valeur de S. Mais je ne suis pas sûr de la rigueur de cette démonstration.

    Deuxième bis : chaque nombre a comme chiffre 1, 2, 3, 4, 5 donc sa somme vaut 1+2+3+4+5 = 15. Or il y en a 120 dont la somme fait 1+2+0 = 3. Donc en tout la somme des chiffres de S vaut 15*3 = 45. Même idée que précédemment.

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    • Novembre 2015, 4e défi

      le 27 novembre 2015 à 16:24, par Daniate

      Bonjour

      Vous calculez aussi avec des nombres à 5 chiffres et non pas 4 chiffres comme demandé

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      • Novembre 2015, 4e défi

        le 27 novembre 2015 à 17:00, par mesmaker

        C’est une très bonne remarque :) et je suis rassuré de voir que je ne suis pas le seul
        à avoir fait cette erreur.
        Néanmoins l’idée de la première démonstration est toujours correct sauf que les couples ont une valeur de 6666 et que la somme totale vaut S = 399960. Donc la somme des chiffres vaut 36.

        On aura fait l’exercice pour 5 et 4 chiffres.

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        • Novembre 2015, 4e défi

          le 27 novembre 2015 à 17:57, par Daniate

          J’aime bien votre méthode de calcul, qui rappelle la démonstration des sommes de termes d’une suite arithmétique.

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          • Novembre 2015, 4e défi

            le 27 novembre 2015 à 19:10, par mesmaker

            Merci. J’y ai pensé en lisant gedspilett qui mentionnait que la moyenne de 1234 et 5432 était égale à S/120 à 3333.

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