Un défi par semaine

Novembre 2016, 1er défi

Le 4 novembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 45 :

Si $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres impairs consécutifs, rangés par ordre croissant, quelle est la valeur de $a^2 - 2b^2 + c^2$ ?

Solution du 4e défi d’Octobre :

Enoncé

La réponse est $x= - 2$ et $x=2$.

On a

$3^{x+2} + 3^{2-x} = 82$

$9\times 3^x + \frac{9}{3^x} = 82$

$9 \times ( 3^x)^2 - 82 \times 3^x + 9 = 0$

$(9\times 3^x -1)(3^x-9) = 0,$

d’où l’on tire $3^x = \frac 19$ ou $3^x = 9$. Les solutions sont donc $x= -2$ et $x=2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2016, 1er défi

    le 4 novembre 2016 à 04:31, par Formimadle

    Soit a = n , alors b = n+2 et c = n+4
    On a alors :
    A = n^2 - 2(n+2)^2 + (n+4)^2
    A = n^2 - 2(n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 8n + 16)
    A = 8
    Donc, quelques soient les valeurs de a, b et c, la valeur de a^2 - 2b^2 + c^2 sera 8.

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    • Novembre 2016, 1er défi

      le 4 novembre 2016 à 09:58, par LALANNE

      D’après l’énoncé, l’expression n’a qu’une valeur : si a=1,b=3,c=5, elle est 8.

      Répondre à ce message
  • Novembre 2016, 1er défi

    le 4 novembre 2016 à 08:26, par ROUX

    On veut/peut le faire de tête.
    Donc on prend a=b-2 et c=b+2.
    Du coup a^2 + c^2=2b^2 + 8 soit a^2-2b^2+c^2=8.
    Cela pouvait être donc aussi bien trois nombres pairs consécutifs.
    Pouvait-on donc proposer trois nombres de même parité consécutifs  ?

    Répondre à ce message
    • Novembre 2016, 1er défi

      le 4 novembre 2016 à 09:31, par Daniate

      Bonjour,

      En poursuivant votre méthode sur 3 termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r on obtient la constante 2r². Avec r=2 on retrouve bien 8.

      Répondre à ce message

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