Novembre 2016, 2e défi

Le 11 novembre 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 46 :

Trois sorcières survolent une ville. À chaque instant, seule une des trois peut se déplacer de la distance qu’elle souhaite, sur une droite parallèle à celle qui joint les deux autres. La première sorcière est au-dessus de la mairie, la seconde $2$ km au nord et la troisième $4$ km à l’est. Est-il possible que la première se trouve au-dessus de la mairie, la seconde $3$ km au nord-est et la troisième $3$ km au sud-est ?

Solution du 1er défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $8$.

Posons $a=2k-1$, $b=2k+1$, $c=2k+3$ pour un certain entier $k$. On a alors

$a^2-2b^2+c^2=(a^2-b^2)+(c^2-b^2)$

$=(a+b)(a-b)+(c+b)(c-b)$

$=4k\times (-2)+(4k+4)\times 2=8.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Commentaire sur l'article

Novembre 2016, 2e défi

le 11 novembre 2016 à 06:34, par Al_louarn

Considérons le déplacement d’une sorcière d’un point $A$ à un point $B$, les deux autres étant immobiles aux points $C$ et $D$. Si $h$ est la distance entre $A$ et la droite $(CD)$, alors l’aire du triangle $(ACD)$ est $\frac{CD \times h}{2}$.
Comme $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, la distance entre $B$ et la droite $(CD)$ est aussi $h$, ce qui entraîne que l’aire du triangle $(BCD)$ est aussi $\frac{CD \times h}{2}$.
La règle de déplacement impose donc que l’aire du triangle formé par les sorcières est invariante.
Conclusion : il est impossible de passer d’un triangle d’aire $\frac{4 \times 2}{2} = 4$ à un triangle d’aire $\frac{3 \times 3}{2} = 4,5$.
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