Un défi par semaine

Novembre 2016, 4e défi

Le 25 novembre 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 48 :

Soit une suite $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$ formée avec tous les nombres de l’ensemble $\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}$. Quelle est la valeur minimale que peut prendre la somme

$(a+b+c+d)^2 + (e+f+g+h)^2~\mbox{?}$

Solution du 3e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $896\,990$.

Commençons par remarquer que le premier chiffre est inférieur ou égal à $8$ (puisque la somme du premier et du dernier vaut $8$), mais que la somme du premier et du deuxième doit valoir $17$. La seule possibilité est donc que le premier vaille $8$ (le dernier vaudra donc $0$) et que le deuxième vaille $9$. En utilisant les sommes données par l’énoncé, on obtient alors successivement le troisième chiffre $15 - 9 = 6$ et le quatrième $15 - 6 = 9$, ainsi que l’avant-dernier ($9 - 0 = 9$). Le digicode est donc $896\,990$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2016, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2016, 4e défi

    le 25 novembre 2016 à 08:04, par zgreudz

    Sans aucune reflexion ni discernement je l’ai fait avec Mathematica :

    list = -7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13

    Sous ensembles de la liste avec exactement 4 elements
    L = Subsets[list, 4] ;
    Sous ensembles complementaires :
    M = Complement[#] & /@ L ;
    Calcul de la somme de (a+b+c+d)² + (e+f+g+h)²
    S = (# [1] + # [2]) & /@
    Transpose[(Total[#])^2 & /@ L, (Total[#])^2 & /@ M]

    Valeur Minimale :
    Min[S]
    34
    Recherche des candidats
    p = Position[S, Min[S]]
    12, 14, 22, 32, 39, 49, 57, 59
    Affichage
    L [3] & /@ p, M [4] & /@ p // Transpose // TableForm

    -7, -5, 2, 13, -3, -2, 4, 6

    -7, -5, 4, 13, -3, -2, 2, 6

    -7, -3, 2, 13, -5, -2, 4, 6

    -7, 2, 4, 6, -5, -3, -2, 13

    -5, -3, -2, 13, -7, 2, 4, 6

    -5, -2, 4, 6, -7, -3, 2, 13

    -3, -2, 2, 6, -7, -5, 4, 13

    -3, -2, 4, 6, -7, -5, 2, 13

    Desole pour les renvois de bas de page, ils viennent de l’interpretation du code en balises d’edition.

    [11

    [22

    [3#

    [4#

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  • Novembre 2016, 4e défi

    le 27 novembre 2016 à 09:40, par ROUX

    J’en ai fait la somme et j’ai trouvé 8.
    En les mettant en deux paquets, je me suis dis que chaque paquet pouvait(devait ?) toujours être le complémentaire à 8 de l’autre.
    Le minimum est obtenu pour 4+4 et, juste après, il y a toute une série possible à 5+3 : 4^2+4^2=32 tandis que 5^2+3^2=34.
    On constate d’ailleurs que c’est là que réside l’intérêt du carré : avoir un minimum dans la somme des carrés, minimum qui n’existe pas pour les sommes sans carrés.
    Je n’ai pas trouvé l’arrangement à 4+4.
    J’ai trouvé des arrangements à 5+3 (-7, -5, 4, 13) et alors (-3, -2, +2, +6), par exemple.
    La valeur minimale est donc 34, car, somme toute, au delà des arrangements, la question porte bel et bien sur la valeur de la somme.
    34 ?

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    • Novembre 2016, 4e défi

      le 27 novembre 2016 à 21:06, par Daniate

      Bonsoir,

      En effet 4 est impossible puisque pair il faut un nombre pair de termes impairs soit 4 ou 2. 4 donne -2 donc à rejeter et deux impairs de chaque côte oblige 13 de s’accoler à un autre donnant une somme d’au moins 6 mais le minimum des deux pairs qu’il faut rajouter est 0 donc on ne peut obtenir qu’au moins 6.

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  • Novembre 2016, 4e défi

    le 12 décembre 2016 à 12:49, par LALANNE

    Si A=a+b+c+d et B=e+f+g+h , on veut minimiser A^2+B^2=(A+B)^2-2AB
    Comme A+B=S est donné, il faut donc maximiser AB, ce qui est vrai lorsque A=B le produit de deux nombres dont la somme S est donnée est maximum lorsqu’ils sont égaux.
    Avec la suite donnée ce n’est pas possible, A est toujours différend de B.
    Posons D=A-B , le produit AB est à maximiser AB=(S^2-D^2)/4
    Il faut minimiser D^2 pour répondre à la question, soit A et B les plus proches possibles.
    La différence minimale D obtenue par permutation est 3 , la somme minimale A^2+B^2=34

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