Novembre 2017, 3e défi

Le 17 novembre 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Combien de nombres réels satisfont l’équation....?

Semaine 46 :

Combien de nombres réels satisfont l’équation

$2x^2-2x = 2x\sqrt{x^2-2x} +1 \text{?}$

Solution du 2e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est $4$ triangles.

Observons qu’il existe seulement $2$ triangles équilatéraux non superposables : $ABC$ et $AFE$.

Choisissons un des sommets, par exemple $A$. En utilisant une hauteur du triangle original, on peut former deux autres triangles : $ABD$ et $ADE$. Les autres triangles ayant pour sommet $A$ sont $ADC$, $AFC$, $ABE$ et $AFD$ : les trois premiers sont superposables à $ABD$, et le dernier à $ADE$.

Par symétrie, les triangles dont $B$ ou $C$ est un sommet se comportent comme ceux dont $A$ est un sommet. Enfin, le seul triangle ne comportant ni $A$, ni $B$, ni $C$ dans ses sommets est le triangle $DEF$, qui est superposable à $AFE$. On peut donc en tout trouver quatre triangles non superposables.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Novembre 2017, 3e défi

le 17 novembre 2017 à 12:17, par Niak

En écrivant $2x^2-2x = x^2 + \sqrt{x^2-2x}^2$, l’équation se réécrit $x^2-2x\sqrt{x^2-2x}+\sqrt{x^2-2x}^2=1$, i.e. $(x-\sqrt{x^2-2x})^2=1$. Donc $x-\sqrt{x^2-2x}=\pm1$, soit $x\pm1=\sqrt{x^2-2x}$ et donc $x^2\pm2x+1=x^2-2x$ par élévation au carré, soit $2x\pm2x=-1$ . Choisir $-$ conduit à une absurdité, choisir $+$ conduit à l’unique solution $x=-\frac{1}{4}$.
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Novembre 2017, 3e défi

le 18 novembre 2017 à 12:31, par Daniate

Bonjour,
En remarquant que 2x²-2x=2x(x-1) et que x²-2x=(x-1)²-1 il ne reste plus qu’à faire passer 1 dans le premier membre (méthode classique en isolant la racine carrée). Les deux membres sont alors élevés au carré . Les simplifications arrivent à la pelle et il ne reste plus que 4x+1=0.
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