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Un défi par semaine

Novembre 2017, 4e défi

Le 24 novembre 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

On inscrit dans chaque case d’une grille de $3\times 3$ un nombre, de telle sorte que le produit des $4$ nombres dans les carrés de taille $2\times 2$ soit égal à $2$ et le produit des $3$ nombres de chaque ligne ou colonne soit égal à $1$. Quel est le nombre dans la case centrale de la grille ?

Solution du 3e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est un unique nombre.

Cela revient à résoudre $2x^2-2x-2x\sqrt{x^2-2x}=1$. Si l’on pose $y=\sqrt{x^2-2x}$, alors on a $2x^2-2x=x^2 + (x^2-2x)=x^2+y^2$, et l’équation de départ revient à $x^2+y^2-2xy=1$, soit encore $(y-x)^2=1$. Ainsi, $y-x=\pm 1$.

Si $y-x=1$, alors $y=1+x$, et comme $x^2-2x=y^2$,

$x^2-2x = (1+x)^2$

$x^2 -2x =1+2x+x^2$

$x = -\frac{1}{4}.$

Si $y-x=-1$, alors $y=x-1$ d’où $x^2-2x=(x-1)^2=x^2-2x+1$ ce qui implique que $0=1$, donc il n’y a pas de solution dans ce cas. Ainsi, $x=-\frac{1}{4}$ est l’unique solution à cette équation.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Novembre 2017, 4e défi

le 24 novembre 2017 à 08:23, par Al_louarn

$2$ au centre et $1$ ailleurs
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Novembre 2017, 4e défi

le 24 novembre 2017 à 09:15, par B !gre

Attention, votre solution n’est pas valide : le produit des nombres de la ligne (ou colonne) centrale vaut $2$ et non pas $1$ comme demandé !
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Novembre 2017, 4e défi

le 24 novembre 2017 à 09:56, par Al_louarn

Oui vous avez parfaitement raison, j’ai été un peu trop vite !
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Novembre 2017, 4e défi

le 24 novembre 2017 à 09:17, par amic

Non, ça ne marche pas pour les colonnes centrales. On peut déduire qu’il y a 2 dans les coins, 1/4 sur les bords, et 16 au milieu.
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Novembre 2017, 4e défi

le 24 novembre 2017 à 10:22, par Kamakor

On appelle ti, pour i allant de 1 à 9, les valeurs vérifiant les conditions demandées quand on les inscrit dans la grille de la façon suivante :

t1 t2 t3
t4 t5 t6
t7 t8 t9

Le produit P = t1 x t2 x t3 x ... x t9 = (t1 x t2 x t3) x (t4 x t5 x t6) x (t7 x t8 x t9) = 1 x 1 x 1 = 1.
On peut alors chercher la valeur de P x t1 et en déduire t1.
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Novembre 2017, 4e défi

le 24 novembre 2017 à 13:33, par Patrice Ossona de Mendez

Vive les log (surtout en base 2) !
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Novembre 2017, 4e défi

le 24 novembre 2017 à 18:36, par ROUX

Faisons la spirale de Ulam dans le sens direct.
On a donc 5*4*1*6=2, 5*4*3=1 et 6*1*2=1.
Donc, 5*4*3*6*1*2=1.
Or, 5*4*1*6=2.
Donc, 3*2=1/2.
Mais 3*2*9=1 donc 9=2.
Chacun des quatre coins du carré vaut 2 donc chacun des milieux des lignes ou des colonnes vaut 1/4.
Donc, 5*4*1*6=2=2*1/4*1*1/4 ou 1=16.
La spirale d’Ulam est alors :16, 1/4, 2, 1/4, 2 ,1/4, 2, 1/4 et 2.
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