Un défi par semaine

Novembre 2018, 1er défi

Le 2 novembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (15)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 44

Un voleur veut trouver la combinaison du coffre-fort et a l’information suivante : la combinaison forme un nombre pair de $5$ chiffres ; seul un des chiffres est impair ; la combinaison a $4$ chiffres différents, le chiffre répété est pair et apparaît à des positions non consécutives. Combien de combinaisons le voleur doit-il essayer pour être sûr d’ouvrir le coffre ?

Solution du 4e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est $(-202,400)$ et $(198,0)$.

Appelons $x_1$ et $x_2$ les racines de
l’équation
$x^2+px+q=0$. On obtient

\[\begin{eqnarray*} (x-x_1)(x-x_2) & = & x^2+px+q\\ x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 & = & x^2+px+q, \end{eqnarray*}\]
c’est-à-dire, $x_1+x_2=-p$ et $x_1x_2=q$.

Comme
\[ 198 = p+q=-(x_1+x_2)+x_1x_2=(x_1-1)(x_2-1)-1, \]
il s’ensuit que $(x_1-1)(x_2-1)=199$.

Comme $x_1$, $x_2$, $x_1-1$,
$x_2-1$ sont des nombres entiers et $199$ est premier, on a alors que

$x_1-1=\pm 1\quad$ et
$\quad x_2-1=\pm 199$

ou $x_1-1=\pm 199\quad$ et $\quad x_2-1=\pm 1$

Les solutions $(x_1,x_2)$ des systèmes d’équations antérieurs sont : $(2,200)$, $(0,-198)$, $(-198,0)$ et $(200,2)$.

De la première et la quatrième solution
on obtient que $p=-2-200=-202$, $q=2 \cdot 200=400$ et, de
la seconde et la troisième solution on obtient que $p=198$, $q=0$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2018, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2018, 1er défi

    le 2 novembre à 10:34, par Al_louarn

    Soit $i$ le chiffre impair, $r$ le chiffre pair répété, $p$ et $q$ les chiffres pairs non répétés, tels que $p$ apparaît avant $q$ (de gauche à droite).
    Alors le dernier chiffre est soit $q$ soit $r$.

    Si $q$ est le dernier chiffre, alors il y a $3$ façons de placer les deux occurences de $r$ sans qu’elles se touchent. Il reste alors $2$ positions possibles pour $i$, chacune fixant $p$, donc $3 \times 2 = 6$ configurations.

    Si $r$ est le dernier chiffre, alors il y a $3$ positions possibles pour la première occurence de $r$, puis $3$ pour $i$, chacune fixant $p$ et $q$, ce qui fait $3 \times 3 = 9$ configurations.

    Au total on a donc $9 + 6 = 15$ façons de placer les variables.
    Pour chacune d’elles on a $5$ choix possibles pour $i$, $5$ pour $p$, $4$ pour $q$, $3$ pour $r$.
    Il y a donc au total $15 \times 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 4500$ combinaisons possibles.

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  • Novembre 2018, 1er défi

    le 2 novembre à 12:45, par ROUX

    Avec les contraintes annoncées, et pour la position de l’impair bloquée et pour les positions des deux pairs identiques bloquées, chaque nombre à 5 chiffres est un choix de 1 nombre impair parmi 5 puis le choix de 1 nombre pair parmi 5 suivi du choix d’un nombre pair parmi 4 suivi du choix d’un nombre pair parmi 3 soit 5*5*4*3=300 possibilités de nombres à 5 chiffres .
    Ensuite, combien a-t-on de positions possibles de l’impair et des deux pairs identiques ?
    P est pair et p est le pair répété et I est impair.
    Si on a ...Ip alors on a 3 possibilités pour l’autre p, par exemple : PpPIp.
    3/3
    Ensuite, on n’a que pPpIP.
    1/4
    Si on a ..I.. on a alors 4 possibilités pour p, par exemples : pPIPp ou PpIPp.
    4/8
    Si on a pI... on a 3 possibilités pour p, par exemple : pIPpP.
    3/11
    Ensuite, on n’a que PIpPp.
    1/12
    Si on a Ip... on a 2 possibilités pour p, par exemple : IpPPp.
    2/14
    On n’a que IPpPp.
    1/15
    Et c’est fini.
    On a donc 15 positions possibles pour I et p.
    15*300=4500 combinaisons.
    A deux secondes par chiffre puis deux secondes pour tirer la porte, on a 12 secondes par essai.
    4500*12=15*3600 soit 15 heures.
    A faire un week-end ;-) !

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  • Novembre 2018, 1er défi

    le 2 novembre à 18:18, par Pierre Cami

    01024
    01042
    01204
    01402
    01240
    01420
    10204
    10402
    10240
    10420
    12040
    14020
    12 possibilités avec 0 2fois 1 2 et 4
    5 possibilités équivalentes pour 0,2,4,6,8
    5 possibilités équivalentes pour 1,3,5,7,9
    6 possibilités pour 2 pris parmi 4
    Donc 5*5*6*12=1800 (sauf erreur de compréhension du problème)

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    • Novembre 2018, 1er défi

      le 2 novembre à 18:32, par Pierre Cami

      J’ai trouvé mon erreur.
      3 pris parmi 5=10 et non 2 pris parmi 4=6
      soit 10*5*5*12=3000

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      • Novembre 2018, 1er défi

        le 2 novembre à 19:04, par ROUX

        Vous seriez MOCHIZUKI (voir Revue de presse) alors je pourrais être votre SCHOLZE (voir Revue de presse) si et seulement si je trouvais le moyen de comprendre où vous vous êtes trompé...
        Car vous vous êtes trompé, n’est-ce pas, puisque je trouve conjointement 4500...

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      • Novembre 2018, 1er défi

        le 2 novembre à 19:08, par Daniate

        Bonsoir, votre liste initiale n’est pas complète : elle ne compte pas de nombre commençant par un chiffre pair ne se répétant pas. Ensuite vous utilisez les combinaisons dans une situation où l’ordre est important. Je pense qu’avec ces 2 remarques vous pourrez retrouver le résultat des autres locuteurs.

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    • Novembre 2018, 1er défi

      le 2 novembre à 19:06, par ROUX

      Mais pourquoi n’explorez-vous que deux positions pour le nombre impair ?

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  • Novembre 2018, 1er défi

    le 3 novembre à 11:25, par Pierre Cami

    0 1 0 2 4 1 0 2 0 4
    0 1 0 4 1 1 0 2 4 0
    0 1 2 0 4 1 0 4 0 2
    0 1 2 4 0 1 0 4 2 0
    0 1 4 0 2 1 2 0 4 0
    0 1 4 2 0 1 4 0 2 0
    0 2 0 1 4 2 0 1 0 4
    0 2 0 4 1 2 0 1 4 0
    0 2 1 0 4 2 0 4 0 1
    0 2 1 4 0 2 0 4 1 0
    0 2 4 0 1 2 1 0 4 0
    0 2 4 1 0 2 4 0 1 0
    0 4 0 1 2 4 0 1 0 2
    0 4 0 2 1 4 0 1 2 0
    0 4 1 0 2 4 0 2 0 1
    0 4 1 2 0 4 0 2 1 0
    0 4 2 0 1 4 1 0 2 0
    0 4 2 1 0 4 2 0 1 0

    36 possibilités pour 1 impair, 0 deux fois et 2 et 4 pour les pairs
    5 possibilités pour 1 ( 1 3 5 7 9 )
    5 possibilités pour 0 ( 0 2 4 6 8 )
    6 possibilités pour 2 pairs pris parmi 4 restants (24,26,28,46,48,68 si 0 double)
    donc 36*6*5*5=5400
    où me trompé-je ?

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    • Novembre 2018, 1er défi

      le 3 novembre à 16:10, par Daniate

      et n’oubliez pas de corriger la deuxième ligne.

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  • Novembre 2018, 1er défi

    le 3 novembre à 16:09, par Daniate

    Bonjour, en fait votre nouvelle liste contient des nombres impairs. Enlevez les et vous obtiendrez bien 4500.

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  • Novembre 2018, 1er défi

    le 3 novembre à 16:51, par Pierre Cami

    01024,10204
    01042, 10240
    01204, 10402
    01240, 10420
    01402, 12040
    01420, 14020
    02014, 20104
    02041, 20140
    02104, 20401
    02140, 20410
    02401, 21040
    02410, 24010
    04012, 40102
    04021, 40120
    04102, 40201
    04120, 40210
    04201, 41020
    04210, 42010
    et 36*5*5*6 = 5400
    C’EST MIEUX MAINTENANT ?

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    • Novembre 2018, 1er défi

      le 3 novembre à 17:53, par Daniate

      Vous avez toujours 6 nombres qui se terminent par 1. Le défi parle de nombres pairs.

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      • Novembre 2018, 1er défi

        le 3 novembre à 20:39, par Pierre Cami

        Un voleur veut trouver la combinaison du coffre-fort et a l’information suivante : la combinaison forme un nombre pair de 5 chiffres ; seul un des chiffres est impair ; la combinaison a 4 chiffres différents, le chiffre répété est pair et apparaît à des positions non consécutives. Combien de combinaisons le voleur doit-il essayer pour être sûr d’ouvrir le coffre ?

        Ci dessus le texte du problème
        VOUS SAVEZ LIRE ?

        Répondre à ce message
        • Novembre 2018, 1er défi

          le 3 novembre à 20:51, par Pierre Cami

          PAS MOI ET C’EST MA TRES GRANDE FAUTE , J’ai toujours beaucoup plus appris de mes erreurs que des bonnes solutions !
          MAINTENANT C’EST SUR 4500, à mon âge on oubli (comme je l’ai toujours fait une partie de l’énoncé pour son bien être ?)
          UNE REMARQUE 45 et 54 5*9 et 6*9, juste une petite erreur de 1 !

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  • Novembre 2018, 1er défi

    le 5 novembre à 22:55, par drai.david

    On peut aussi interpréter « la combinaison forme un nombre pair de 5 chiffres » comme le fait que le chiffre de gauche ne peut pas être un zéro.
    Il ne reste alors plus que 3 780 combinaisons...

    Remarque : « le chiffre répété est pair » est une information redondante, puisqu’il est dit auparavant que « seul un des chiffres est impair ».

    Répondre à ce message

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