Un défi par semaine

Novembre 2018, 2e défi

Le 9 novembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 45

Trouver le nombre de couples d’entiers positifs $(a,b)$ satisfaisant $a+b < 100$ et $a+\frac{1}{b}=13\left (b+ \frac{1}{a}\right )$.

Solution du 1e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est $4500$ combinaisons.

Distinguons deux cas : soit un des chiffres pairs répété est en fin de nombre (quand on
lit le nombre de gauche à droite) ; soit les deux chiffres identiques sont dans les quatre premières positions.

Dans le premier cas où le chiffre pair répété est en fin de nombre, l’autre chiffre identique
doit être dans la première, seconde ou troisième position, ce qui veut dire qu’il y a $3$ positions et $5$ nombres pairs possibles pour ce chiffre.
Le voleur doit ensuite choisir une position pour le chiffre impair, ce qu’il peut faire de $3$ manières, et il y a $5$ nombres impairs possibles.
Une fois cela fait, il doit encore placer deux nombres pairs dans les deux cases restantes.
Pour le premier nombre pair le voleur a $4$ possibilités, puisqu’il a déjà mis le pair qui se répète, et pour le second nombre pair il a alors seulement $3$ possibilités.
Par conséquent, dans ce cas, le voleur a

$3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3=5^2 \cdot 3^3 \cdot 4=2700$ possibilités.

Dans le second cas, le nombre pair répété peut aller dans les cases : une et trois, une et quatre ou deux et quatre, ce qui fait $3$ possibilités, avec $5$ valeurs possibles pour ce nombre pair.
Dans la case finale doit aller un autre chiffre pair, pour lequel le voleur a $4$ possibilités.
Il reste alors deux cases libres.
L’une est pour le chiffre impair, ce qui veut dire qu’il y a $2$ possibilités pour mettre n’importe lequel des $5$ chiffres impairs ;
et l’autre est pour le dernier chiffre pair, il y a 3 chiffres possibles.
Au total le voleur a

$3\cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3=5^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3=1800$ possibilités.

Donc la réponse finale est $2700+1800=4500$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2018, 2e défi

    le 9 novembre à 07:17, par drai.david

    $a+\frac{1}{b}=13\left (b+ \frac{1}{a}\right )\Leftrightarrow a(ab+1)=13b(ab+1)\Leftrightarrow a=13b$.

    D’où 7 solutions : (13 ;1) , (26 ;2) , ... , (91 ;7).

    Répondre à ce message
  • Novembre 2018, 2e défi

    le 9 novembre à 11:56, par ROUX

    Ouh la la comme elles n’aimaient pas les dénominateurs mes dominatrices professeures de mathématiques !!!
    Donc pour supprimer 1/b et 1/a on multiplie par a*b ce qui donne a^2*b + a = 13/(b^2*a + b) ou a*(a*b + 1) = 13*b*(a*b + 1) ou (a*b + 1)/(a - 13*b) = 0 soit a - 13*b = 0 ou a = 13*b.
    100/13 = 7 au % d’erreur près pour trouver l’entier le plus proche.
    7 couples.

    Répondre à ce message
    • Novembre 2018, 2e défi

      le 9 novembre à 12:04, par ROUX

      Oups...
      a^2*b + a = 13*(b^2*a + b) ou a*(a*b + 1) = 13*b*(a*b + 1) ou (a*b + 1)*(a - 13*b) = 0 soit a - 13*b = 0 ou a = 13*b

      Répondre à ce message

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