Novembre 2018, 3e défi

Le 16 novembre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (28)
Lire l'article en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 46

Les longueurs des côtés du rectangle du coin ont pour rapport $2$. Combien de tels rectangles peut-on loger dans le carré ?

Solution du 2e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est $7$ paires.

On peut réécrire l’équation sous la forme

\[\frac{ab+1}{b}=13\left(\frac{ab+1}{a}\right)\].

Comme $a$ et $b$ sont des entiers positifs, on a $ab+1>0$, donc on peut diviser l’équation par $ab+1$ et on obtient

$\frac{1}{b}=\frac{13}{a} \quad$ d’où $ \quad a+b=14b$.

On a alors

$a+b=14b<100 \quad$ d’où $\quad b<8$.

Par conséquent, les solutions sont $(13,1)$, $(26,2)$, $(39,3)$, $(52,4)$, $(65,5)$, $(78, 6)$ et $(91,7)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

Novembre 2018, 3e défi

le 16 novembre 2018 à 08:29, par Al_louarn

Soit $r$ le rayon du cercle et $O$ son centre, $P$ le point d’intersection du cercle et du rectangle, $Q$ la projection de $P$ sur la parallèle au grand côté du rectangle passant par $O$.
Alors le triangle $OQP$ est rectangle en $Q$ donc $OQ^2 + QP^2 = OP^2$. En prenant comme unité de longueur le petit côté du rectangle on a $OQ=r-2$, $QP=r-1$, $OP=r$. Donc $(r-2)^2 + (r-1)^2 = r^2$, qui se simplifie en $r^2 -6r + 5 = 0$.
Les racines de ce trinôme sont $1$ et $5$ mais la seule acceptable ici est $r=5$, ce qui donne un carré de côté $2 \times 5 = 10$. On peut donc le paver avec une grille de $5 \times 10 = 50$ rectangles.
Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?