Novembre 2018, 3e défi

Le 16 novembre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (28)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 46

Les longueurs des côtés du rectangle du coin ont pour rapport $2$. Combien de tels rectangles peut-on loger dans le carré ?

Solution du 2e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est $7$ paires.

On peut réécrire l’équation sous la forme

\[\frac{ab+1}{b}=13\left(\frac{ab+1}{a}\right)\].

Comme $a$ et $b$ sont des entiers positifs, on a $ab+1>0$, donc on peut diviser l’équation par $ab+1$ et on obtient

$\frac{1}{b}=\frac{13}{a} \quad$ d’où $ \quad a+b=14b$.

On a alors

$a+b=14b<100 \quad$ d’où $\quad b<8$.

Par conséquent, les solutions sont $(13,1)$, $(26,2)$, $(39,3)$, $(52,4)$, $(65,5)$, $(78, 6)$ et $(91,7)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Novembre 2018, 3e défi

le 16 novembre 2018 à 13:18, par ROUX

Je trace un repère cartésien et je ne joue que du côté des abscisses et des ordonnées positives.
Je trace le cercle de rayon R, le rectangle et, disons P, le point d’intersection entre le rectangle et le cercle.
Les coordonnées de P sont (x,y).
Le petit côté l du rectangle vaut donc (R - y) et le grand côté L du rectangle vaut donc (R - x).
La condition posée est : 2*(R - y) = (R - x) ce qui donne R -2*y = -x ou x = 2*y - R.
Par ailleurs, P étant sur le cercle, on a x^2 + y^2 = R^2 ou (2*y - R)^2 + y^2 = R^2 ce qui donne 4*y^2 - 4*R*y + R^2 + y^2 = R^2 ou encore 5*y^2 - 4*R*y = 0 ou encore y*(5*y - 4*R) = 0 ou y = 4/5*R ou y = 0,8*R et x = 0,6*R.
Alors l = 0,2*R et L = 0,4*R.
On a 5*L = 2*R qui est la valeur du côté du carré et on a 10*l = 2*R qui est gnagna.
5*10 = 50 rectangles.
Sans équation du second degré.
Sans sinus.
Sans cosinus.
Yes !!!
Et j’attends évidemment un commentaire géométrique ou probabiliste de Daniate qui me fera verdir de jalousie ;-) !
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