Un défi par semaine

Novembre 2018, 3e défi

Le 16 novembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (28)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 46

Les longueurs des côtés du rectangle du coin ont pour rapport $2$. Combien de tels rectangles peut-on loger dans le carré ?

Solution du 2e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est $7$ paires.

On peut réécrire l’équation sous la forme

\[\frac{ab+1}{b}=13\left(\frac{ab+1}{a}\right)\].

Comme $a$ et $b$ sont des entiers positifs, on a $ab+1>0$, donc on peut diviser l’équation par $ab+1$ et on obtient

$\frac{1}{b}=\frac{13}{a} \quad$ d’où $ \quad a+b=14b$.

On a alors

$a+b=14b<100 \quad$ d’où $\quad b<8$.

 

Par conséquent, les solutions sont $(13,1)$, $(26,2)$, $(39,3)$, $(52,4)$, $(65,5)$, $(78, 6)$ et $(91,7)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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  • Novembre 2018, 3e défi

    le 16 novembre 2018 à 18:43, par drai.david

    Je vais mettre tout le monde d’accord : l’énoncé ne dit pas que l’on doit retirer le disque vert, donc il n’y a la place que pour 4 rectangles sur la surface restante !

    Plus sérieusement :
    Dans un repère orthonormé, soient le demi-cercle de centre O et de rayon 1, d’équation $y=\sqrt{1-x^2}$ et $A(x_A,y_A)$ le point de contact entre ce cercle et le rectangle.
    On a : $1-x_A=2(1-y_A)$ $\Leftrightarrow$ $y_A=\frac{1+x_A}{2}$ .
    On a donc $\sqrt{1-x_A^2}=\frac{1+x_A}{2}$ $\Leftrightarrow$ $4(1-x_A^2)=1+2x_A+x_A^2$ $\Leftrightarrow$ $5x_A^2+2x_A-3=0$ .
    $\Leftrightarrow$ $x_A=\frac{3}{5}$ et $y_A=\frac{4}{5}$ .
    La longueur du rectangle est donc $1-x_A=\frac{2}{5}$ et sa largeur est $1-y_A=\frac{1}{5}$ .
    Comme le carré est de côté 2, on peut placer 10 lignes de 5 rectangles, soit 50 rectangles.

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