Un défi par semaine

Novembre 2018, 3e défi

Le 16 novembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (28)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 46

Les longueurs des côtés du rectangle du coin ont pour rapport $2$. Combien de tels rectangles peut-on loger dans le carré ?

Solution du 2e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est $7$ paires.

On peut réécrire l’équation sous la forme

\[\frac{ab+1}{b}=13\left(\frac{ab+1}{a}\right)\].

Comme $a$ et $b$ sont des entiers positifs, on a $ab+1>0$, donc on peut diviser l’équation par $ab+1$ et on obtient

$\frac{1}{b}=\frac{13}{a} \quad$ d’où $ \quad a+b=14b$.

On a alors

$a+b=14b<100 \quad$ d’où $\quad b<8$.

 

Par conséquent, les solutions sont $(13,1)$, $(26,2)$, $(39,3)$, $(52,4)$, $(65,5)$, $(78, 6)$ et $(91,7)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Novembre 2018, 3e défi

    le 16 novembre 2018 à 20:56, par Pierre Cami

    Je corrige les fautes d’orthographe qui m’ont été dictées par ma colère.
    J’ai 80 ans, Ingénieur ESCIL promotion 1961et j’ai reçu de la vie plus de leçons que celle que vous voulez me donner.
    Je ne vous connait pas mais vos mots montrent une totale ignorance de qui je suis !
    J’ai enseigné à L’EFT pendant 3 ans de 1962 à 1965, j’ai ensuite fait une carrière dont je suis fier, je ne suis et n’est jamais été croyant mais je me suis toujours opposé avec détermination contre des individus de votre espèce !

    Répondre à ce message

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