Novembre 2018, 3e défi

Le 16 novembre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (28)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 46

Les longueurs des côtés du rectangle du coin ont pour rapport $2$. Combien de tels rectangles peut-on loger dans le carré ?

Solution du 2e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est $7$ paires.

On peut réécrire l’équation sous la forme

\[\frac{ab+1}{b}=13\left(\frac{ab+1}{a}\right)\].

Comme $a$ et $b$ sont des entiers positifs, on a $ab+1>0$, donc on peut diviser l’équation par $ab+1$ et on obtient

$\frac{1}{b}=\frac{13}{a} \quad$ d’où $ \quad a+b=14b$.

On a alors

$a+b=14b<100 \quad$ d’où $\quad b<8$.

Par conséquent, les solutions sont $(13,1)$, $(26,2)$, $(39,3)$, $(52,4)$, $(65,5)$, $(78, 6)$ et $(91,7)$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Novembre 2018, 3e défi

le 17 novembre 2018 à 09:54, par Pierre Cami

Vous avez mis le doigt sur une point qui me tiens à cœur et que vous aurez du mal à démonter, une proposition de preuve de la conjecture de Collatz.
Si la conjecture est vérifiée tout nombre entier impair a(i) conduit à 1 après les opérations qui suivent :
si a(i) est de la forme (2*n+1)*2^j, a(i-1)=2*n+1 et si a(i) est impair a(i-1)=6*n+4
à la fin a(0)=1 si la conjecture est vérifiée.
Définissons l’ensemble des suites u(i) qui contiennent tout prédécesseur possible de u(i-1).
On commence par u(0)=1et on ne considère que les nombres impairs.
Les termes de la suite u(1) sont donnés par le formule (4^n-1)/3 pour n de 1 à N.
Les termes de la suite u(2) sont donnés par : (((4^n-1)/3)*4^j-1)/3 si (4^n-1)/3 est 1 modulo 6 ou par((4^n-1)/3) *2^(2*j-1)-1)/3 si (4^n-1)/3 est 5 modulo 6 pour n de 1 à N et j de 1 à n.
Les termes de la suite u(i) sont donnés par (u(i-1)*4^k-1)/3 si u(i-1) est 1 modulo 6 ou par (u(i-1)*2^(2*k-1)-1)/3 si u(i-1) est 5 modulo 6 pour toutes les valeurs de u(i-1) et k de 1 à N.
Il est facile de vérifier que chaque nombre impair est présent une fois et une seule fois dans l’ensemble des suites u(i) ci-dessus définies, d’où la vérification de la conjecture de Collatz.
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