Un défi par semaine

Novembre 2018, 4e défi

Le 23 novembre 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (21)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 47

En considérant toujours la racine positive, trouver la valeur de :
\[ \sqrt{6 +\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}. \]

Solution du 3e défi de novembre :

Enoncé

La solution est : $50$ rectangles.

Soient $l$ le côté court du rectangle et $r$ le rayon du cercle.
Alors, les côtés du triangle rectangle de la figure ont pour longueurs $r$, $r-l$ et $r-2l$.

D’après le théorème de Pythagore, on a alors
\[\begin{eqnarray*} (r-l)^2+(r-2l)^2 & = & r^2\\ r^2-6lr+5l^2 & = & 0\\ (r-l)(r-5l) & = & 0, \end{eqnarray*}\]
soit $r=l$ ou $r=5l$. Or on a $r>2l$, d’où $r=5l$.

Par conséquent, les côtés du carré mesurent $2r=10l$, et on peut alors placer 50 rectangles de côtés $l$ et $2l$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2018, 4e défi

    le 23 novembre à 07:26, par Al_louarn

    $x=\sqrt{6+x}$
    $x^2=6+x$
    $x^2-x-6=0$
    $(x-3)(x+2)=0$
    $x=3$

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    • Les petits points (...) et la démonstration par l’absurde...

      le 23 novembre à 17:34, par ROUX

      Vous avez écrit x = (6 + x)^0,5 à l’aide des petits points (...).
      Vous auriez aussi bien pu écrire x = (6 + (6 + x)^0,5)^0,5 mais cela n’aurait pas été très efficace...
      J’avais évidemment écrit la même chose que vous, trouvé 3 et vérifié à la calculatrice que cela fonctionnait : on avait donc le droit d’utiliser les petits points (...) comme cela.
      Mais, ces petits points (...) me posent ailleurs un problème majeur.
      Lorsqu’on fait une démonstration par l’absurde, en gros, on pose une hypothèse qui va s’avérer conduire à une contradiction évidente.
      Il se trouve que ces petits points (...) utilisés pour calculer la somme infinie (ces fameux petits points (...)) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... conduisent à écrire que cette somme est égale à -1/12 ce qui à mes yeux est un résultat absurde.
      A mes yeux... En écrivant cela, je tombe dans le travers des celles et ceux d’entre nous qui ne démontrent pas les choses évidentes qui se voient.
      Mais, imaginons que je sois professeur de mathématiques et qu’un.e élève, après avoir compris la manière de faire une démonstration par l’absurde (allez, tiens, au hasard, la démonstration que 2^(1/2) n’est pas rationnelle) me présente ça : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -1/12, il est évident qu’il me dirait que ce résultat, absurde, signifie qu’on a fait une hypothèse pas bonne...
      Oui, mais voilà, laquelle ?
      Il y a aussi le sketch classique
      a = b
      a^2 = a*b
      a^2 - b^2 = a*b - b^2
      (a + b)*(a - b) = a*(a - b)
      a + b = a mais comme a = b
      2*b = b
      2 = 1

      qui montre juste que on n’a vraiment pas le droit de diviser par 0 parce que ça se voit que 1 = 2, ça ne va pas le faire...
      C’est le cas où la robustesse des mathématiques est telle que si on fait une erreur, elle nous punisse tout de suite.
      Mais 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -1/12 à mes mêmes yeux que quand j’ai vu la démonstration (erronée) selon laquelle 1 = 2, ça ne le fait pas plus.
      Alors, que se passe-t-il avec 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -1/12 puisque contrairement à la démonstration selon laquelle 1 = 2, je ne VOIS aucune erreur, si ce n’est l’utilisation des petits points (...).
      Mais alors, pourquoi parfois les petits points (...), ça marche et pourquoi parfois ça ne marche pas ?
      Euh... Plutôt, pourquoi les petits points (...) ça marche TOUT LE TEMPS ce qui signifie que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = -1/12 est RELLEMENT VRAIE !!?!?!!?
      Qu’est-ce que je pourrais répondre à cet.te élève sur le statut de preuve par l’absurde et, au fond, comment reconnaître quand un résultat absurde ne l’est en fait pas ?

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    • Novembre 2018, 4e défi

      le 23 novembre à 17:57, par ROUX

      Oh bah encore peut-être plus effrayant : je fais donc
      x = (6 + (6 + x)^0.5)^0.5
      x^2 = 6 + (6 + x)^0.5
      (x^2 - 6)^2 = 6 + x
      x^4 -12*x^2 + 36 = 6 + x
      x^4 - 12*x^2 - x + 30 = 0
      f(x) = x^4 - 12*x^2 - x + 30

      J’MicroSoftExcelise f(x) et je trace le graphe de f(x) et je vois un beau passage à zéro pour x = 3, tout va bien et un tout aussi beau passage à zéro entre 1,75 et 1,80...

      Pourquoi (comment) fallait-il que je sache à quel ordre de petits points (...) m’arrêter ?

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      • Novembre 2018, 4e défi

        le 23 novembre à 18:20, par ROUX

        Autour de 1,79128785...

        Répondre à ce message
      • Novembre 2018, 4e défi

        le 23 novembre à 18:20, par Nils Berglund

        Une manière parmi d’autres d’aborder la question est de considérer la relation de récurrence $x_{n+1} = \sqrt{6+x_n}$ ...

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        • Novembre 2018, 4e défi

          le 23 novembre à 18:35, par ROUX

          Vos petits points (...) sont terriblement ironiques après votre Xn+1 = (6 + Xn)^0.5 puisqu’ils sont somme toute ( ;-)) à cet endroit-là parfaitement inutiles  :-).
          Cela ne m’apporte malheureusement aucun éclaircissement...

          Répondre à ce message
          • Novembre 2018, 4e défi

            le 23 novembre à 19:38, par Nils Berglund

            Une manière d’interpréter les petits points dans $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}$ est de commencer avec un nombre $x_0$ (appelé semence, ou condition initiale) et de regarder ce qui arrive lorsqu’on calcule $x_1$, $x_2$, $x_3$, et ainsi de suite. Est-ce qu’on s’approche de $3$ ? Est-ce que cela dépend de la valeur de $x_0$ ?

            Répondre à ce message
        • Novembre 2018, 4e défi

          le 23 novembre à 21:37, par ROUX

          X(0) = (6)^0.5 = 2,449...
          X(1) = (6 + 2,449...)^0.5 = 2,907...
          X(2) = (6 + 2,907...)^0.5 = 2,984...
          X(3) = 2.997...
          Je vois que ça va vers 3.

          Pour 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... ai-je la relation de récurrence X(n+1) = X(n) + n ?
          Je dirais oui.
          X(0) = 0
          X(1) = 0 + 1 = 1
          X(2) = 1 + 2 = 3
          X(3) = 3 + 3 = 6
          Je ne vois pas du tout que ça va vers -1/12  :-((...

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          • Novembre 2018, 4e défi

            le 23 novembre à 23:34, par Nils Berglund

            Effectivement, si $x_{n+1} = \sqrt{6+x_n}$, alors on a

            $x_1 = \sqrt{6+x_0} $

            $x_2 = \sqrt{6+\sqrt{6+x_0}} $

            $x_3 = \sqrt{\sqrt{6+\sqrt{6+x_0}}} $

            $\dots$

            $x_n = \sqrt{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{\dots + \sqrt{6+x_0}}}}} $

            ce qui explique le lien avec la question du défi.

            Si $0\le x_0 < 3$, on peut vérifier que $x_0 < x_1 < x_2 < \dots < 3$, alors que si $x_0 > 3$, on a $3 < \dots < x_2 < x_1 < x_0$. Dans les deux cas, $x_n$ tend vers $3$.

            Le cas de la somme des entiers est différent : la suite des sommes partielles ne tend certainement pas vers $-1/12$ dans le sens classique du terme. On trouvera ici des explications plus détaillées sur les « sens non classiques ».

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    • Novembre 2018, 4e défi

      le 25 novembre à 13:20, par ROUX

      Quand j’ai donc été un peu plus loin en écrivant X = ( 6 + ( 6 + X)^0.5)^0.5 j’ai trouvé X = 3 et j’ai aussi pu trouver une autre racine positive entre 1,75 et 1,80.
      Comment choisir que je peux réfuter cette dernière ?

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      • Novembre 2018, 4e défi

        le 25 novembre à 15:18, par Nils Berglund

        En élevant une équation au carré, on ajoute souvent des solutions qui ne conviennent pas.

        Votre solution supplémentaire doit correspondre à $x^2-6 = -\sqrt{6+x}$ au lieu de $x^2-6 = \sqrt{6+x}$.

        Répondre à ce message
        • Novembre 2018, 4e défi

          le 25 novembre à 18:22, par ROUX

          Tout calcul fait, tout à fait.
          Donc, je comprends : je peux supprimer les racines carrées en mettant au carré mais, alors, à chaque fois, je m’ouvre la possibilité de calculer les valeurs qui correspondent au moins la racine carrée.

          Ces ... là sont résolus.

          Ceux pour 1 + 2 + 3 + ... = -1/12 ne sont toujours pas résolus...

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          • Novembre 2018, 4e défi

            le 25 novembre à 22:21, par Nils Berglund

            Comme j’y ai fait allusion plus haut, la somme $1+2+3+\dots$ n’est pas égale à $-1/12$ au sens classique du terme.

            Que veut dire ici sens classique ? Si nous écrivons $S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n$, on dit que $S_n$ tend vers $-1/12$ si la distance entre $S_n$ et $-1/12$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l’infini, la distance étant mesurée ici par la valeur absolue $|S_n - (-1/2)|$. (Plus précisément : il faudrait que pour tout $\varepsilon > 0$, on puisse trouver un entier $n$ tel que $|S_m - (-1/2)| < \varepsilon$ pour tout $m\ge n$.) Ce n’est pas le cas, ne serais-ce que pour la simple raison que $S_n$ est croissante.

            L’affirmation $1+2+3+\dots = -1/12$ peut-elle être vraie dans un sens « non classique » ? Le point subtil ici est que le sens classique fait intervenir la valeur absolue pour mesurer la distance.

            Voici un exemple un peu plus simple : la série géométrique
            \[ a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots = \frac{a}{1-a} \]
            Pour $a=1/2$, on trouve par exemple
            \[ \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac1{16} + \dots = 1 \]
            Ceci est vrai au sens classique (une illustration graphique en est donnée ici). En fait, l’égalité est vraie classiquement pour tout $a$ tel que $-1 < a < 1$.

            En revanche, si nous prenons $a=2$, nous obtenons
            \[ 2 + 4 + 8 + 16 + \dots = -2 \]
            Ceci est faux dans le sens classique, mais devient vrai dans le monde dit $2$-adique, où l’on utilise une autre notion de distance que la valeur absolue.

            La relation $1+2+3 + \dots = -1/{12}$ peut se déduire de la série géométrique à l’aide de quelques manipulations expliquées ici, en l’appliquant encore une fois à une valeur de $a$ illégitime au sens classique.

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            • Novembre 2018, 4e défi

              le 1er décembre à 15:11, par IPMath

              Un excellent vidéo ( en anglais) sur ce thème.
              https://www.youtube.com/watch?v=YuIIjLr6vUA

              Répondre à ce message
  • Novembre 2018, 4e défi

    le 24 novembre à 12:13, par Pierre Cami

    Soit U(1)=X^(1/2), U(2)=(X+U(1))^(1/2), U(3)=(X+U(2))^(1/2), ..., U(N)=(X+U(N-1))^(1/2)
    U(N) est entier = 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., N pour X=2, 6, 12, 20, 30, 42 ..., N*(N+1)
    sauf erreur de ma part.

    Répondre à ce message
    • Novembre 2018, 4e défi

      le 24 novembre à 15:00, par Pierre Cami

      J’ai oublié U(1)=i^(1/2)=-1, U(2)=(1+U(1))^(1/2)=0, U(3)=(1+U(2))^(1/2)=1 et donc U(N)=1 pour ce cas particulier.

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      • Novembre 2018, 4e défi

        le 24 novembre à 16:22, par Pierre Cami

        Erreur, U(1)=i^(1/2)=-1, U(2)=(1+U(1))^(1/2)=0, U(3)=(i+U(2))^(1/2)=-1, U(4)=(1+U(3))^(1/2)=0, soit U(2*N)=0, U(2*N+1)=-1
        C’est mieux maintenant.

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    • Novembre 2018, 4e défi

      le 25 novembre à 09:21, par Pierre Cami

      Soit U(1)=X^(1/2), U(2)=(X+U(1))^(1/2), U(3)=(X+U(2))^(1/2), ..., U(N)=(X+U(N-1))^(1/2)
      U(N) est entier = 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., N pour X=0, 2, 6, 12, 20, 30, 42 ..., (N-1)*N
      J’avais fait une erreur !

      Répondre à ce message
  • Novembre 2018, 4e défi

    le 25 novembre à 17:21, par Pierre Cami

    U(1)=i^(1/2)=-1, U(2)=(1+U(1))^(1/2)=0, U(3)=(i+U(2))^(1/2)=-1, U(4)=(1+U(3))^(1/2)=0, soit U(2*N)=0, U(2*N+1)=-1
    U(1)=1^(1/2)=1, U(2)=(0+U(1))^(1/2)=1, U(3)=(0+U(2))^(1/2)=1, U(N)=1
    U(1)=X^(1/2), U(2)=(X+U(1))^(1/2), U(3)=(X+U(2)^(1/2), ..., U(N)=(X+U(N-1))^(1/2) est entier pour
    X=2, 6, 12, 20, 30, 42, ... et U(N)=2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
    OUFF !!

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  • Novembre 2018, 4e défi

    le 25 novembre à 23:22, par richecoeur

    x0= sqrt(6)
    x1=sqrt(6+x0)
    .
    .
    .
    xn=sqrt(6+x(n-1))
    deux cas :
    A. xn -> infini
    B. xn -> l finie

    A. -> xn env sqrt(xn) -> sqrt(xn)-> 1 absurde avec hypothèse xn tend vers infini
    B. Seule alternative donc l=sqrt(6 +l) et l=3 solution et valeur de la somme infinie du défi.

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