Un défi par semaine

Novembre 2019, 1er défi

Le 1er novembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 44

Sans lever le crayon, dessiner $4$ segments de droites qui passent par les $9$ points.

Solution du 4e défi d’octobre :

Enoncé

La solution est $\dfrac{1}{4}$.

Il s’agit d’un problème de probabilité géométrique qui se résout en calculant des aires de régions dans le plan. En choisissant au hasard deux nombres $a$ et $b$ avec $0 < a < b < 1$, notre espace de probabilité est :
\[ \Omega= \{(a,b) \, \text{dans le plan} \quad \text{tels que} \quad 0 < a < b < 1\}, \]
c’est-à-dire l’ensemble des couples $(a,b)$ situés dans le triangle $\Omega$ :

Notons que l’aire de $\Omega$ est $\frac{1}{2}$. En coupant le câble en deux points $a$ et $b$, nous obtenons trois segments : le premier de longueur $a$, le second de longueur $b-a$, et le troisième de longueur $1-b$. Une condition nécessaire et suffisante pour pouvoir former un triangle est que ces trois segments satisfassent l’inégalité du triangle dans tous les ordres possibles, c’est-à-dire :
\[ \begin{eqnarray} a+(b-a) & \geq & (1-b) \quad \text{c'est-à-dire} \qquad b \geq\frac{1}{2}\label{ecfed1} \\ a+(1-b) & \geq & (b-a) \quad \text{c'est-à-dire} \qquad b \leq\frac{2a+1}{2} \label{ecfed2} \\ (b-a)+(1-b) &\geq &a \;\quad\qquad \text{c'est-à-dire} \qquad a \leq \frac{1}{2}. \label{ecfed3} \end{eqnarray} \]
La région $A$ de $\Omega$ qui satisfait aux équations (1), (2) et (3) est :
\[ A=\left\{(a,b)\,\text{dans} \, \Omega \quad \text{tel que} \quad a\leq\frac{1}{2}, \quad b\geq\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad b\leq \frac{2a+1}{2}\right\}. \]

Sur un graphique, cela donne :

$A$ est un triangle totalement inclus dans le triangle $\Omega$ et d’aire $\frac{1}{8}$. Donc la probabilité de former un triangle est :
$$ P(\text{Former un triangle})=\frac{ \text{Aire de $A$}}{\text{Aire de $\Omega$}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}. $$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - FESTA / SHUTTERSTOCK

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