Un défi par semaine

Novembre 2019, 3e défi

Le 15 novembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 46

Si $p$ et $p^{2}+8$ sont des nombres premiers, quelle est la valeur de $p^{3}+4$ ?

Solution du 2e défi de novembre :

Enoncé

La solution est $0$.

Comme $2$ et $5$ sont premiers, le nombre obtenu est multiple de $10$, et donc son chiffre des unités est $0$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2019, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - FESTA / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2019, 3e défi

    le 15 novembre à 08:03, par Al_louarn

    On a une solution facile avec $p=3$ puisque $3$ et $3^2+8=17$ sont premiers.

    En revanche tout nombre premier $p \neq 3$ est congru à $1$ ou $2$ modulo $3$. Mais alors $p^2$ est congru à $1$ puisque $1^2=0 \times 3 + 1$ et $2^2=1 \times 3 + 1$. Et comme $8=3 \times 2 + 2$, le nombre $p^2 + 8$ est congru à $0$, c’est donc un multiple de $3$. Comme on a aussi $p^2 + 8 > 8 > 3$, ce nombre ne peut pas être premier.

    La seule réponse possible est donc $p^3+4=3^3+4=31$.

    Répondre à ce message
  • Novembre 2019, 3e défi

    le 20 novembre à 14:52, par ROUX

    😂😂😂😙😙😙

    Répondre à ce message

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