Un défi par semaine

Novembre 2019, 4e défi

Le 22 novembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 47

Combien de chiffres a le plus petit nombre entier qui se termine par $2$ tel que si on déplace le chiffre $2$ en tête du nombre on obtient un nombre deux fois plus grand ?

Solution du 3e défi de novembre :

Enoncé

La solution est $31$.

Au premier abord, on peut penser que $p$ peut prendre beaucoup de valeurs, et donc qu’il y a de nombreuses solutions. La formulation du problème laisse pourtant entendre qu’il n’y a qu’une valeur de $p$ premier pour laquelle $p^2+8$ est aussi premier. La valeur $p=2$ donne $p^2+8=12$ qui n’est pas premier, et la valeur $p=3$ donne $p^2+8=17$ qui est bien premier. Nous allons montrer que pour toute autre valeur de $p$, le nombre $p^2+8$ n’est pas premier.

Si $p$ est un nombre premier différent de $3$, alors $p$ est de la forme $3n+1$ ou $3n-1$, pour un certain entier $n$.
On va alors écrire $p=3n\pm1$ et avec cette écriture on a
\[p^2+8 = (3n\pm1)^2+8 = 9n^2\pm6n +9.\]
Ce dernier nombre est toujours divisible par $3$ et strictement supérieur à $3$, donc il n’est pas premier.

Par conséquent on a nécessairement $p=3$. On a alors $p^3+4=31$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - FESTA / SHUTTERSTOCK

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  • Novembre 2019, 4e défi

    le 22 novembre 2019 à 13:59, par tschmoderer

    \[ n = 105263157894736842 \\ l(n) = 18 \]

    On remarque que si $2n$ commence par un $2$ et qu’il a le même nombre de chiffre que $n$ alors le premier chiffre de $n$ doit être $1$.

    A partir de là, on part de $2$ et on multiplie par deux en ajoutant les chiffres à gauche jusqu’à tomber « naturellement » sur un $1$ :

    \[ 2 \\ 42 \\ 842 \\ 6842\text{ (on a une retenue) }\\ 36842\text{ (idem) }\\ \text{et ainsi de suite jusqu'à} \\ 5263157894736842 \\ 05263157894736842\text{ (avec une retenue) }\\ 105263157894736842 \\ \]

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