Novembre 2019, 5e défi

Le 29 novembre 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
Lire l'article en

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 48

Combien de triplets $(x,y,z)$ de nombres entiers satisfont-ils à
l’inégalité : $x^2 + y^2 + z^2 + 3 < xy + 3y + 2z$ ?

Solution du 4e défi de novembre :

Enoncé

La solution est $18$ chiffres.

Notons $a$ le nombre initial dont l’écriture se termine par $2$ et $b$ le nombre obtenu en déplaçant ce $2$ en premier chiffre. Par hypothèse on a $2a=b$, et comme $a$ se termine par $2$, $b$ se termine par $4$. Donc $a$ se termine par $42$, et par conséquent $b$ se termine par $84$. Alors $a$ se termine par $842$, et donc $b$ par $684$ (remarquez qu’ici on ne peut pas dire que $b$ se termine par $1684$). En continuant on voit que $a$ se termine par $6842$, et donc $b$ par $3684$, et de proche en proche on obtient que $a$ se termine par $105\,263\,157\,894\,736\,842$. À ce moment, la multiplication par $2$ montre que $b$ commence par

\[ 105\, 263\, 157\, 894\, 736\, 842 \times 2 = 2«{ {{105\,263\,157\,894\,736\,84}} }» \]

Comme ce nombre est obtenu justement en déplaçant le $2$ final de $a$, on voit que ce choix de $a$ fait l’affaire, et que tout autre $a$ doit se terminer ainsi. Enfin le nombre $105\,263\,157\,894\,736\,842$ a $18$ chiffres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

Novembre 2019, 5e défi

le 29 novembre à 10:52, par François

La seule solution est (1,2,1).
Soit f(x,y,z) = x² + y² +z² - xy - 3y - 2z +3 = (x-1)² +(y-2)² + (z-1)² - (x-1)(y-2) -1. En posant X = x-1, Y = y-2 et Z= z-1, on obtient f(x,y,z) = X² +Y² - XY + Z² - 1 = F(X,Y,Z). Rechercher les solution entières de f(x,y,z) < 0 équivaut à rechercher les solutions entières de F(X,Y,Z) < 0.
Comme X² + Y² - XY = (X+Y)²/4 +3(X-Y)²/4 cette quantité est toujours positive, donc si on prend Z supérieur ou égal à 1 ou inférieur ou égal à -1 , F(X,Y,Z) est positif. Donc Z = 0. Seule la solution X=Y=0 ( cad x=1, y=2, z=1) convient en effet :
F(1,0,0) =F(-1,0,0) = F(0,1,0) = F(0,-1,0) = F(1,1,0) = F(-1,-1,0) =0.
Interprétation géométrique : f(x,y,z) = 0 est l’équation d’un ellipsoïde de centre (1, 2, 1). Dans le repère rapporté au centre, l’intersection de cet ellipsoïde avec le plan Z = 0 est une ellipse dont le grand axe est la première bissectrice. les sommets sont ( 1, 1) et (-1 , -1) , le petit axe est la seconde bissectrice de sommet (1/2, -1/2) et (-1/2,1/2).. Cette ellipse contient les points (1,0), (-1,0), (0,1) et (0,-1). Seul le centre de l’ellipsoïde convient.
Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexion | s’inscrire | mot de passe oublié ?