Un défi par semaine

Novembre 2019, 5e défi

Le 29 novembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 48

Combien de triplets $(x,y,z)$ de nombres entiers satisfont-ils à
l’inégalité : $x^2 + y^2 + z^2 + 3 < xy + 3y + 2z$ ?

Solution du 4e défi de novembre :

Enoncé

La solution est $18$ chiffres.

Notons $a$ le nombre initial dont l’écriture se termine par $2$ et $b$ le nombre obtenu en déplaçant ce $2$ en premier chiffre. Par hypothèse on a $2a=b$, et comme $a$ se termine par $2$, $b$ se termine par $4$. Donc $a$ se termine par $42$, et par conséquent $b$ se termine par $84$. Alors $a$ se termine par $842$, et donc $b$ par $684$ (remarquez qu’ici on ne peut pas dire que $b$ se termine par $1684$). En continuant on voit que $a$ se termine par $6842$, et donc $b$ par $3684$, et de proche en proche on obtient que $a$ se termine par $105\,263\,157\,894\,736\,842$. À ce moment, la multiplication par $2$ montre que $b$ commence par

\[ 105\, 263\, 157\, 894\, 736\, 842 \times 2 = 2«{ {{105\,263\,157\,894\,736\,84}} }» \]

Comme ce nombre est obtenu justement en déplaçant le $2$ final de $a$, on voit que ce choix de $a$ fait l’affaire, et que tout autre $a$ doit se terminer ainsi. Enfin le nombre $105\,263\,157\,894\,736\,842$ a $18$ chiffres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2019, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - FESTA / SHUTTERSTOCK

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  • Novembre 2019, 5e défi

    le 29 novembre à 10:52, par François

    La seule solution est (1,2,1).
    Soit f(x,y,z) = x² + y² +z² - xy - 3y - 2z +3 = (x-1)² +(y-2)² + (z-1)² - (x-1)(y-2) -1. En posant X = x-1, Y = y-2 et Z= z-1, on obtient f(x,y,z) = X² +Y² - XY + Z² - 1 = F(X,Y,Z). Rechercher les solution entières de f(x,y,z) < 0 équivaut à rechercher les solutions entières de F(X,Y,Z) < 0.
    Comme X² + Y² - XY = (X+Y)²/4 +3(X-Y)²/4 cette quantité est toujours positive, donc si on prend Z supérieur ou égal à 1 ou inférieur ou égal à -1 , F(X,Y,Z) est positif. Donc Z = 0. Seule la solution X=Y=0 ( cad x=1, y=2, z=1) convient en effet :
    F(1,0,0) =F(-1,0,0) = F(0,1,0) = F(0,-1,0) = F(1,1,0) = F(-1,-1,0) =0.
    Interprétation géométrique : f(x,y,z) = 0 est l’équation d’un ellipsoïde de centre (1, 2, 1). Dans le repère rapporté au centre, l’intersection de cet ellipsoïde avec le plan Z = 0 est une ellipse dont le grand axe est la première bissectrice. les sommets sont ( 1, 1) et (-1 , -1) , le petit axe est la seconde bissectrice de sommet (1/2, -1/2) et (-1/2,1/2).. Cette ellipse contient les points (1,0), (-1,0), (0,1) et (0,-1). Seul le centre de l’ellipsoïde convient.

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