Un défi par semaine

Novembre 2019, 5e défi

Le 29 novembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 48

Combien de triplets $(x,y,z)$ de nombres entiers satisfont-ils à
l’inégalité : $x^2 + y^2 + z^2 + 3 < xy + 3y + 2z$ ?

Solution du 4e défi de novembre :

Enoncé

La solution est $18$ chiffres.

Notons $a$ le nombre initial dont l’écriture se termine par $2$ et $b$ le nombre obtenu en déplaçant ce $2$ en premier chiffre. Par hypothèse on a $2a=b$, et comme $a$ se termine par $2$, $b$ se termine par $4$. Donc $a$ se termine par $42$, et par conséquent $b$ se termine par $84$. Alors $a$ se termine par $842$, et donc $b$ par $684$ (remarquez qu’ici on ne peut pas dire que $b$ se termine par $1684$). En continuant on voit que $a$ se termine par $6842$, et donc $b$ par $3684$, et de proche en proche on obtient que $a$ se termine par $105\,263\,157\,894\,736\,842$. À ce moment, la multiplication par $2$ montre que $b$ commence par

\[ 105\, 263\, 157\, 894\, 736\, 842 \times 2 = 2«{ {{105\,263\,157\,894\,736\,84}} }» \]

Comme ce nombre est obtenu justement en déplaçant le $2$ final de $a$, on voit que ce choix de $a$ fait l’affaire, et que tout autre $a$ doit se terminer ainsi. Enfin le nombre $105\,263\,157\,894\,736\,842$ a $18$ chiffres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2019, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - FESTA / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Novembre 2019, 5e défi

    le 29 novembre à 11:17, par ROUX

    (...) aient laissé FAIRE ou, pire, aient permis cela...

    Répondre à ce message

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