Un défi par semaine

Novembre 2019, 5e défi

Le 29 novembre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 48

Combien de triplets $(x,y,z)$ de nombres entiers satisfont-ils à
l’inégalité : $x^2 + y^2 + z^2 + 3 < xy + 3y + 2z$ ?

Solution du 4e défi de novembre :

Enoncé

La solution est $18$ chiffres.

Notons $a$ le nombre initial dont l’écriture se termine par $2$ et $b$ le nombre obtenu en déplaçant ce $2$ en premier chiffre. Par hypothèse on a $2a=b$, et comme $a$ se termine par $2$, $b$ se termine par $4$. Donc $a$ se termine par $42$, et par conséquent $b$ se termine par $84$. Alors $a$ se termine par $842$, et donc $b$ par $684$ (remarquez qu’ici on ne peut pas dire que $b$ se termine par $1684$). En continuant on voit que $a$ se termine par $6842$, et donc $b$ par $3684$, et de proche en proche on obtient que $a$ se termine par $105\,263\,157\,894\,736\,842$. À ce moment, la multiplication par $2$ montre que $b$ commence par

\[ 105\, 263\, 157\, 894\, 736\, 842 \times 2 = 2«{ {{105\,263\,157\,894\,736\,84}} }» \]

Comme ce nombre est obtenu justement en déplaçant le $2$ final de $a$, on voit que ce choix de $a$ fait l’affaire, et que tout autre $a$ doit se terminer ainsi. Enfin le nombre $105\,263\,157\,894\,736\,842$ a $18$ chiffres.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2019, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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Image à la une - FESTA / SHUTTERSTOCK

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  • Novembre 2019, 5e défi

    le 29 novembre à 11:16, par ROUX

    Je transforme l’inégalité d’Ana en (x-y/2)^2 + 3*(y/2-1)^2 + (z-1)^2 < 1 en décidant que xy, 3y et 2z sont les double-produits d’identités remarquables.
    La somme de ces trois nombres entiers positifs ne peut être strictement inférieure à 1 que si chacun est égal à 0.
    z=1 puis y=2 puis donc x=1.
    (x,y,z)=(1,2,1).

    Si Ana avait proposé un inférieur ou égal, il suffisait que l’un des deux carrés comptés une fois soit égal à 1.
    Alors, avec toujours y=2, on avait en plus (x,z)=(1,0).

    Un chaleureux remerciement à mes professeur.e.s de mathématiques qui nous avaient fait remarquer que les identités remarquables étaient des identités dont on devait apprendre à remarquer des parties et que, de ce fait, il fallait les apprendre par cœur sinon on ne les remarquait pas ;-) !
    Ne plus faire apprendre par cœur les trois bonnes vieilles identités remarquables est une perte du sens ontologique de l’aspect remarquable de ces identités et je suis atterré que des mathématicien.ne.s aient laissé ou, pire, aient permis cela...

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