Un défi par semaine

Novembre 2020, 2e défi

Le 13 novembre 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 46

Adèle, Louis et Camille jouent à un jeu où le perdant triple le solde de ses adversaires. Trois parties ont été jouées et les perdants ont été dans cet ordre, Adèle, Louis et Camille.
Si chaque joueur finit avec un solde de $27$ euros, quelle somme d’argent possédait initialement Adèle ?

Solution du 1er défi de novembre :

Enoncé

La réponse est : 13 éléments.

Soit $S_1$ le sous-ensemble des entiers de $\{1,\dots,30\}$
dont le reste de la division par $5$ est $1$, c’est-à-dire
$S_1=\{1,6,11,16,21,26\}$.

Définissons de manière équivalente, $S_2$, $S_3$, $S_4$ les entiers compris entre $1$ et $30$ dont le reste de la division par $5$ est respectivement $2$, $3$ et $4$.

Définissons $S_5$ comme l’ensemble des entiers de $1$ à $30$ divisibles par $5$.\

Par la propriété demandée, $S$ ne peut contenir au plus qu’un élément
de $S_5$.

Si $S$ contient un élément de $S_1$, il ne peut pas contenir
d’éléments de $S_4$, et vice versa.

De même, si $S$ contient un élément de $S_2$, il ne peut pas contenir d’éléments de $S_3$, et inversement.

Finalement, la taille maximale de $S$ sera $6+6+1=13$ éléments.

Un exemple de sous-ensemble $S$ de cette taille vérifiant
la propriété demandée est $S=\{1,2,5,6,7,11,12,16,17,21,22,26,27\}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2020, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une -
  • GORUFUCERAMIST / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2020, 2e défi

    le 13 novembre à 09:16, par Al_louarn

    Si à une étape donnée les soldes sont $x,y,z$ et que le joueur de solde $x$ perd, les soldes deviennent :
    $x'=x-2(y+z)$, $y'=3y$, $z'=3z$

    Donc la transformation inverse est :
    $x=x'+\dfrac{2}{3}(y'+z')$, $y=\dfrac{1}{3}y'$, $z=\dfrac{1}{3}z'$

    Ainsi, les soldes de (Adèle, Louis, Camille) étaient :
    $(\dfrac{1}{3}27, \dfrac{1}{3}27, 27 + \dfrac{2}{3}(27+27)) = (9,9,63)$ avant la défaite de Camille
    $(\dfrac{1}{3}9, 9 + \dfrac{2}{3}(9+63), \dfrac{1}{3}63) = (3,57,21)$ avant la défaite de Louis
    $(3 + \dfrac{2}{3}(57+21), \dfrac{1}{3}57, \dfrac{1}{3}21) = (55,19,7)$ avant la défaite d’Adèle

    Le solde initial d’Adèle était donc de $55$ euros.

    Répondre à ce message

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