Un défi par semaine

Novembre 2021, 4e défi

Le 26 novembre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 47

Deux personnes marchent sur un escalator en fonctionnement. L’une des deux marche trois fois plus vite que l’autre. Lors de la montée, l’une des personnes compte $75$ marches alors que l’autre en compte $50$. Combien de marches de l’escalator faudrait-il monter s’il était à l’arrêt ?

Solution du 3e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est : $66$.

Les neuf sommets de l’ennéagone déterminent ${9\choose 2}=36$ segments reliant deux des sommets. Chacun de ces segments détermine deux triangles équilatéraux, un de chaque côté.

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La difficulté est que certains de ces $36 \times 2 = 72$ triangles sont confondus : plus précisément, si un triangle $BCD$ a ses trois sommets qui sont également sommets de l’ennéagone, on l’a compté trois fois dans le dénombrement précédent (à partir du segment $[BC]$, à partir du segment $[BD]$ et à partir du segment $[CD]$).

Il faut donc compter ces triangles exceptionnels, et retrancher deux fois leur nombre à $72$ pour obtenir le résultat correct.

Pour former un triangle équilatéral à partir des sommets d’un ennéagone régulier, la seule possibilité est de choisir un sommet sur trois. Il y a donc trois triangles équilatéraux dont tous les sommets sont également sommets de l’ennéagone : $A_1A_4A_7$, $A_2A_5A_8$ et $A_3A_6A_9$.

Ainsi, le nombre cherché est $72-2 \times 3=66$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2021, 4e défi

    le 26 novembre à 13:49, par Al_louarn

    Supposons que les deux marcheurs démarrent en même temps l’ascension de l’escalator. Quand le plus rapide arrive en haut, par rapport au sol il a avancé de la longueur totale $x$ de l’escalator (en nombre de marches), et de $75$ marches par rapport à l’escalator. Donc si l’escalator a avancé de $y$ marches, alors $x = y + 75$.
    L’autre marcheur, qui va $3$ fois moins vite, n’a parcouru que $\dfrac{75}{3} = 25$ marches par rapport à l’escalator, soit la moitié des $50$ qu’il doit monter pour arriver au sommet. Il est donc à mi-distance, ce qui se traduit par $\dfrac{x}{2} = y + 25$.
    Des deux équations on tire $x = 100$ marches.

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