Novembre 2022, 1er défi

Le 4 novembre 2022 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 44

Considérons l’expression $n^3-n$, $n$ étant un entier positif.
Quel est le plus grand nombre entier positif qui divise toujours cette expression ?

Solution du 4e défi d’octobre 2022 :

Enoncé

Soit $r$ le rayon du petit cercle. L’aire bleue vaut
$\frac{\pi}{2}(10^2-r^2)$ et l’aire jaune vaut $\frac{\pi}{2}r^2$.

Nous avons donc :
\[ \begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}(10^2-r^2) & = & \frac{\pi}{2}r^2\\ 100 & = & 2r^2. \end{eqnarray*} \]

Ainsi, $r=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$ cm.

La réponse est $5\sqrt{2}$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Novembre 2022, 1er défi

le 4 novembre 2022 à 11:15, par François

$n^3-n=(n-1)n(n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs donc divisible par $3!=6$. Pour $n=2$ ce produit vaut $6$ donc $6$ est le plus grand entier divisant $n^3-n$ pour tout $n$.
Remarque plus générale :
Pour tout entier positif $n$ et tout entier strictement positif $p$ on a $(n+1)(n+2) \dots (n+p)=p!\dbinom{n}{n+p}$. Donc $p!$ divise p entiers consécutifs, et en prenant $n=0$, on voit que $p!$ est le plus grand entier strictement positif divisant $(n+1)(n+2) \dots (n+p)$ pour tout $n$.
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